sns 2011 n.4

[Sasha™]

E se la distanza centro-origine è minore di ?

[AxxMan]

In realtà ho realizzato di aver detto una cavolata, ci ripenso un po' su. Con la condizione della forza centripeta e la conservazione dell'energia comunque dovrebbe venire la soluzione, ma sono conti un po' brutti che non mi va di fare, magari c'è qualche caso buono che accorcia la strada

[modesto]

Non è stata proposta un'esplicita soluzione di questo interessante problema. Sono interessato allora al controllo della seguente.
1) Non possono esistere orbite circolari con centro diverso dall'origine O. Se infatti un'orbita circolare avesse centro C (che senza perdere in generalità possiamo supporre sull'asse y), la forza magnetica avrebbe direzione passante per C e quella elastica passante per O: la loro risultante non passerebbe in generale per C e quindi senza una guida il moto della massa carica sarebbe deviato dall'orbita circolare.
2) Possono invece esistere orbite circolari con centro O e raggio maggiore, uguale o minore della lunghezza di riposo della molla . Sono possibili perchè la forza magnetica - dove e - è centrale per O come la forza elastica - dove è il vettore-posizione - e la loro risultante può essere diretta verso O ed uguagliare la necessaria forza centripeta di modulo . Ma la forza magnetica allunga o comprime la molla a seconda che è diretta verso l'esterno o verso O. I due casi si verificano per quando l'orbita è percorsa in senso antiorario e il vettore è diretto come l'asse positivo z oppure quando à percorsa in senso orario e il vettore è diretto in verso opposto. Solo il secondo si verifica quando r è minore o uguale a e l'orbita può essere percorsa solo in senso orario per poter avere una risultante verso il centro.
Nel primo caso, con r>, deve risultare

con il segno + nella forza magnetica se la rotazione è antioraria e il segno - se è oraria. Quindi , da cui si vede che r> cresce con per tutti i valori consentiti di fino al valore soluzione positiva dell'equazione a denominatore per il quale r tende all'infinito.
Nel secondo caso, con r minore o uguale a , deve essere
e si ottiene
.
Il denominatore è una parabola in concava verso il basso che ha massimo nel vertice dove individua il minimo di r. Si trovano
e r(min)= <. Da notare che i termini in della parabola si annullano, rendendo il raggio dell'orbita pari a , non solo nel caso banale ma anche per : in questo caso si osserva che la forza magnetica uguaglia la forza centripeta annullando l'utilità della forza elestica al fine di compiere l'orbita circolare che viene così effettuata con la molla in posizione di riposo.
Il dubbio principale riguarda ovviamente il punto 1).

[Pigkappa]

la forza magnetica avrebbe direzione passante per C e quella elastica passante per O: la loro risultante non passerebbe in generale per C

Questo non basta ad escludere quelle orbite. Nel moto circolare uniforme la risultante delle forze deve essere diretta verso il centro dell'orbita. In un moto circolare generico non è così; la componente diretta verso il centro è sempre , ma ci può essere una componente tangenziale non nulla.

[modesto]

Devo dire che avevo pensato a codesta giusta osservazione. Però avevo ragionato: anche ammettendo che la forza elastica sia pensata scomposta in due componenti, tangente e normale alla traiettoria circolare, certo di principio non uniforme, rimane il fatto che essa PASSA per O cui, dice il testo, E' COLLEGATA la massa. Ho creduto che questo fosse il vero dato di fatto: un conto è immaginarla scomposta come detto, un altro è il collegamento reale.
Comunque grazie, continuo a dubitare e a pensarci anche se mi sembra che pure il tenore del testo lo escluda perchè i quesiti che pone mi sembrano coerenti con il centro in O. Spero infine che sul punto 2) tu non abbia rilievi critici importanti.

[Pigkappa]

Il secondo punto è facile e si fa come lo hai fatto tu... Per il prodotto vettoriale in latex io preferisco usare il comando \times che mettere una semplice x, però.

anche ammettendo che la forza elastica sia pensata scomposta in due componenti, tangente e normale alla traiettoria circolare, certo di principio non uniforme, rimane il fatto che essa PASSA per O cui, dice il testo, E' COLLEGATA la massa

Non ho capito perchè questa cosa dovrebbe dimostrare che non ci sono orbite circolari con centro diverso da O. A noi interessa la risultante delle forze, non solo la forza elastica. È vero che la forza elastica punta per O che non sarebbe il centro dell'orbita; ed è vero che quella magnetica è tangente alla traiettoria; ma non capisco perchè questo implichi necessariamente che l'orbita non può essere circolare.

[EDIT: ho fatto un errore qua sopra; la forza magnetica non è tangente ma radiale]

Non ho provato a fare dei conti su questo punto (perchè io in SNS ci sono già entrato ), ma temo sia necessario farli e penso non bastino considerazioni di simmetria. Non so se chi ha scritto il problema pensava alle orbite con centro diverso da O oppure no.

[modesto]

A me risulta che quella magnetica non è tangente alla traiettoria , come tu affermi. Al contrario essa passa per C, il centro dell' ipotetica orbita circolare che, senza perdere in generalità, avevo, nella mia soluzione, proposto sull'asse y. Allora avevo detto: la forza elestica, come riconosci, punta l'origine O; la forza magnetica punta il centro C dell'ipotetica orbita circolare dato che la velocità, comunque sia, deve essere, questa sì, tangente alla circonferenza e B è diretto verso l'alto; conclusione: la loro risultante non può puntare verso C e quindi, se non c'è una guida, la massa carica in moto dovrebbe essere deviata da questa risultante fuori dall'orbita circolare.

[Pigkappa]

A me risulta che quella magnetica non è tangente alla traiettoria , come tu affermi. Al contrario essa passa per C

Sì certo, qua ho sbagliato, passa per C e non è tangente.

la loro risultante non può puntare verso C e quindi, se non c'è una guida, la massa carica in moto dovrebbe essere deviata da questa risultante fuori dall'orbita circolare.

Che la risultante non punta verso C è vero. Ma questo non implica che l'orbita sia non circolare. Ho già detto sopra che "orbita circolare" "accelerazione diretta solo verso il centro". L'orbita potrebbe essere circolare ma non uniforme.


Esempio: il famoso problema della particella che percorre un giro della morte verticale in presenza della gravità. La forza non punta sempre verso il centro. La velocità non è costante in moto. Eppure il moto è circolare.

[modesto]

Se hai la pazienza e il tempo di controllare questa nuova dimostrazione te ne sarei grato.
Senza perdere in generalità, supponiamo il centro C dell'eventuale orbita circolare sull'asse y: se fosse in un altro punto, potremmo sempre orientare l'asse y dall'origine O verso questo punto. Segnata l'ordinata , lunghezza di riposo della molla, si possono ipotizzare intanto tre tipi di orbite circolari con centro sull'asse y diverso dall'origine nel semipiano y>0: quelle per cui è sempre al di sopra della retta , quelle per cui è sempre nella striscia fra l'asse x e la retta e quelle, infine, che hanno in parte ed in parte che intersecano la retta in due punti.
Ciascuna orbita deve essere percorsa in senso orario affinchè la forza magnetica sia diretta verso il centro: in caso contrario ci sarebbero almeno due punti dell'orbita, quelli nei quali la forza elastica è tangente alla circonferenza, in cui non potrebbe prodursi la necessaria forza centripeta e l'orbita circolare salterebbe. Perchè, in generale, la condizione di circolarità implica che la forza magnetica, diretta verso il centro, comprima o estenda la molla in modo tale che la differenza fra la forza magnetica e la componente radiale di quella elastica (che nei punti di intersezione dell'orbita con l'asse y coincide proprio con l'intera forza elastica) sia uguale alla necessaria forza centripeta. I punti di intersezione dell'orbita con l'asse y sono allora discriminanti e decisivi.
I caso: . La condizione di circolarità non è soddisfatta almeno nel punto di intersezione con l'asse y di ordinata massima per i punti dell'orbita. Infatti forza magnetica ed elastica sono dirette verso il basso e verso il centro con il risultato che la forza magnetica comprime la molla fino a in modo che la loro differenza possa uguagliare la necessaria forza centripeta. E' impossibile allora che si realizzi un'orbita circolare con .
II caso: striscia . Questa volta la condizione di circolarità non è soddisfatta almeno nel punto di intersezione con l'asse y di ordinata minima per i punti dell'orbita. Infatti forza magnetica e forza elastica sono entrambe verso l'alto con il risultato che la forza magnetica estende la molla fino a in modo che la loro differenza possa uguagliare la necessaria forza centripeta. E' impossibile allora che si realizzi un'orbita circolare nella striscia.
III caso: a cavallo della retta . La condizione di circolarità non è soddisfatta almeno dai due punti di intersezione con l'asse y, di ordinata massima e di ordinata minima che rendono perciò impossibile la realizzazione anche di questo tipo di orbita.
Sto riflettendo ora su orbite circolari, sempre con centro sull'asse y diverso da O, ma che invadano anche il semipiano y<0. Intanto vorrei sapere se questo tipo di dimostrazione può funzionare.

[Pigkappa]

In questi casi conviene cercare di usare un formalismo matematico che permetta di non dividere il problema in innumerevoli sottocasi (3 per ora nel tuo post, e te ne mancano altri come hai giustamente notato).

Ciascuna orbita deve essere percorsa in senso orario affinchè la forza magnetica sia diretta verso il centro

Mi viene quindi da pensare che tu abbia fatto la scelta, un po' innaturale, di mettere entrante nel piano invece che uscente. Quando ci sono ambiguità di questo tipo è meglio spiegare sempre come si sono scelte le direzioni dei vettori.

I caso: . La condizione di circolarità non è soddisfatta almeno nel punto di intersezione con l'asse y di ordinata massima per i punti dell'orbita. Infatti forza magnetica ed elastica sono dirette verso il basso e verso il centro con il risultato che la forza magnetica comprime la molla fino a in modo che la loro differenza possa uguagliare la necessaria forza centripeta. E' impossibile allora che si realizzi un'orbita circolare con .

Uhm... Non ho capito.
Forza magnetica ed elastica sono dirette verso il basso ---> Non sono granchè d'accordo. Se è entrante nel piano e l'orbita è in verso orario, per nel punto più alto la velocità è verso e la forza magnetica viene verso l'alto.
La forza magnetica comprime la molla fino a in modo che la loro differenza possa eguagliare la necessaria forza centripeta ---> eh?

Anche il seguito non è molto comprensibile.





Ho provato a fare qualche conto, e secondo me non basta considerare quei punti per risolvere il problema. Dico brevemente come l'ho impostato; è possibile che ci sia qualche errore nei conti. L'origine è , il centro è , il campo magnetico è (uscente dal piano), l'orbita è costituita dai punti tali che , la forza elastica è , la forza magnetica è . Il versore dal centro al punto dell'orbita è . Dopo un conto antipatico la forza è:

Affinchè il moto sia circolare, vogliamo che sia . D'altra parte, non ho granchè voglia di fare questo conto e quindi non lo faccio .

Quello che hai fatto tu è dire che bastano i punti con per trovare un assurdo. Allora mettiamo e facciamolo in questo caso; dopo un altro conto si trova che in questi due punti:

(in un caso ovviamente con il segno +, nell'altro con il segno -)
Questa equazione non mi sembra sia sufficiente a dire che le cose non tornano. Abbiamo trovato i valori di , tutto qua.
Una condizione sui parametri e comunque possiamo tirarla fuori. Possiamo infatti sapere quanto deve valere applicando la conservazione dell'energia. Tuttavia, troveremmo così un'equazione in due incognite ( e ) e dovremmo essere molto fortunati per poter dire solo con questa che non ci sono soluzioni. Causa fretta non posso riguardare ora i conti, se non ti tornano dimmelo.

Temo non ci sia altro modo che fare il conto orribile di cui parlavo sopra. Probabilmente, chi ha scritto il problema non si è fatto tutte queste domande e considerava solo orbite centrate nell'origine.