Earnshaw

[eli9o]

Il teorema di Earnshaw dice che nessuna particella può restare in equilibrio stabile sotto la sola azione di forze elettrostatiche. Consideriamo, tuttavia, il punto P d'intersezione delle diagonali di un quadrato ai cui vertici sono poste 4 cariche positive uguali. Se in quel punto mettiamo una carica positiva di prova sembrerebbe essere in equilibrio stabile. Ognuna delle quattro cariche esterne "spinge" la carica di prova verso il punto P. Eppure il teorema di Earnshaw resta valido. Si spieghi perché.

[Pairo]

Elio! Come stai ?

Per il quesito, do una prima risposta ovvia, non so se si può rispondere in modo diverso per il piano: la carica non è in equilibrio stabile per perturbazioni fuori dal piano. Se la carica si muove di uno spostamento infinitesimo fuori dal piano questa verrà allontanata all'infinito.

P.S. Non legga chi vuole risolvere il problema postato da Elio90 in problemi teorici: Il problema che hai proposto è stato postato l'anno scorso nell'oliforum; non sapevo se lo sapessi ma non l'ho scritto là per non fare lo spoiler, però te lo dico nel caso avessi dubbi sulla risoluzione

[eli9o]

Ciao. Io benissimo adesso anche se un po' di fisica in queste vacanze mi tocca Tu?

La risposta è quella che ho dato anch'io.

Però se mettiamo in 3 dimensioni anche le cariche? Cioè mettiamo 8 cariche uguali ai vertici di un cubo. Oppure ancora meglio una distribuzione omogenea di cariche su una superficie sferica. Come mai non si ha l'equilibrio stabile al centro?

[Pairo]

Tutto bene, grazie .. Anch'io mi sono fatto le stesse obiezioni; intanto per la distribuzione continua di carica (che è quella del conduttore carico isolato per esempio) il campo all'interno è nullo quindi l'equilibrio è indifferente, non instabile (il teorema dei gusci). Per il cubo, bisognerebbe farsi tutti i calcoli e vedere che per qualsiasi direzione uno spostamento infinitesimo comporta una forza che spinge verso il centro che non è detto; in ogni caso bisognerebbe conoscere la dimostrazione del teorema (che io non avevo mai sentito nominare prima, quindi mi dispiace di non potere aiutarti di più ).

[Pigkappa]

Non sono argomenti che ho studiato, quindi potrei dire qualche cosa molto brutta e molto falsa. Ci provo comunque.

Proviamo così. Supponiamo che la carica Q positiva sia in equilibrio stabile. Allora in ogni direzione, il campo elettrico prodotto dalle altre cariche punta verso Q. Quindi, se prendiamo una sfera centrata nella posizione di Q e abbastanza piccola da far sì che le linee di campo siano tutte entranti (mettiamoci in un caso ragionevole e supponiamo che esista...) e applichiamo la legge di Gauss al campo prodotto dalle altre cariche, troviamo facilmente un assurdo.

Con le otto cariche ai vertici di un cubo, e Q al centro, penso che se Q provasse a muoversi verso una delle cariche l'equilibrio non risulterebbe stabile in quella direzione, ma bisogna fare i conti.

[Eagle]

Come si dimostra il teorema di Earnshaw? Ho cercato inutilmente in rete.

[Gauss91]

Già il fatto che le cariche continuino sempre a formare un quadrato/cubo STATICO (le ipotesi parlano di forze elettrostatiche) significa che quelle elettrostatiche non sono le uniche forze agenti sul sistema...
Se si volessero rispettare le ipotesi del teorema di Earnshaw, dovrebbero essere rimossi i vincoli che tengono insieme le cariche del cubo, ma in tal caso ovviamente quelle cariche verrebbero accelerate e quindi si esce dall'ambito dell'elettrostatica (a cui si riferisce il teorema di Earnshaw).

Se si togliesse questa ipotesi anche due oggetti carichi tridimensionali a contatto violerebbero il teorema di Earnshaw (le forze di contatto a ben vedere sono più o meno elettrostatiche...).

Spero di non aver detto boiate!

[Ippo]

Questa è una dimostrazione

Proviamo così. Supponiamo che la carica Q positiva sia in equilibrio stabile. Allora in ogni direzione, il campo elettrico prodotto dalle altre cariche punta verso Q. Quindi, se prendiamo una sfera centrata nella posizione di Q e abbastanza piccola da far sì che le linee di campo siano tutte entranti (mettiamoci in un caso ragionevole e supponiamo che esista...) e applichiamo la legge di Gauss al campo prodotto dalle altre cariche, troviamo facilmente un assurdo.

[nota: non si parla della configurazione esterna delle cariche; si parla solo del campo elettrico, perciò è una dimostrazione del tutto generale. A rigore bisognerebbe aggiustare qualche brutto dettaglio di analisi usando delle ipotesi di regolarità del campo elettrico, in modo da escludere tutti i casi patologici a cui accenna pig, ma è abbastanza chiaro che in ogni situazione fisica sensata il ragionamento funziona]

[Eagle]

Vediamo cosa ho capito. Se nella posizione P, la carica è in equilibrio stabile, allora vuol dire che il campo elettrico prodotto dalle altre cariche in P è nullo. Poiché è in equilibrio stabile se la sposto di poco in un punto C, la forza che agisce su tende a riportarla in P. Quindi costruendo in P una superficie gaussiana sferica si deduce che il flusso entrante non è nullo, altrimenti non potrebbe più ritornare da C a P. Ma se il flusso entrante non è nullo vuol dire che in P vi è un'altra carica elettrica : questo è assurdo perché la posizione P non potrebbe più essere occupata dalla carica . Giusto?

[Pigkappa]

Sì, più o meno è così. In realtà la formulazione con cui lo conoscevo io riguardava un numero finito di cariche puntiformi e si poneva la carica campione nello spazio vuoto, perciò si otteneva un assurdo perchè la carica doveva essere proprio nello spazio vuoto.

Se la particella non è nello spazio vuoto, invece, direi che il teorema non vale (ad esempio se la si mette al centro di una carica uniformemente carica con carica negativa, è in equilibrio stabile).