Molte volte negli esercizi di fisica capita dover utilizzare la seguente approssimazione:
Mi farebbe davvero piacere conoscere i passaggi matematici che portano a questo risultato. Avevo letto a riguardo qualcosa sulla serie di Taylor, ma sinceramente non ho capito molto.
Approssimazione
Re: Approssimazione
Questa però vale se !
Prova a sviluppare usando il binomio di Newton
Prova a sviluppare usando il binomio di Newton
Re: Approssimazione
C'è scritto semplicemente , il secondo membro è l'approssimazione lineare di f nel punto 0 (la retta tangente).
Per x tendente a 0 è una funzione che tende a zero anche se divisa per x (la verifica è immediata).
In questo caso una stima dello scarto per x positivi e n>1 è:
Per x tendente a 0 è una funzione che tende a zero anche se divisa per x (la verifica è immediata).
In questo caso una stima dello scarto per x positivi e n>1 è:
Ultima modifica di CoNVeRGe. il 28 ott 2010, 23:05, modificato 1 volta in totale.
Re: Approssimazione
Per fare le cose nel modo che credo sia più elementare e comprensibile per chi potrebbe non sapere cosa vuol dire :
è chiaramente un polinomio di grado . Immagina di fare tutti i prodotti; otterrai qualcosa del tipo . Adesso, se possiamo dire che x è un numero "molto piccolo", ed il quadrato di un numero molto piccolo è un numero ancora più piccolo, il suo cubo ancora più piccolo del quadrato, e così via (perchè se è chiaro che , eccetera).
Allora nel polinomio sopra trascuriamo tutti i pezzi in cui compare , , ..., ; rimane .
Per determinare ed basta immaginare di fare il prodotto; è chiaramente e si vede abbastanza facilmente che .
è chiaramente un polinomio di grado . Immagina di fare tutti i prodotti; otterrai qualcosa del tipo . Adesso, se possiamo dire che x è un numero "molto piccolo", ed il quadrato di un numero molto piccolo è un numero ancora più piccolo, il suo cubo ancora più piccolo del quadrato, e così via (perchè se è chiaro che , eccetera).
Allora nel polinomio sopra trascuriamo tutti i pezzi in cui compare , , ..., ; rimane .
Per determinare ed basta immaginare di fare il prodotto; è chiaramente e si vede abbastanza facilmente che .
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)