Sfiorare un esagono
Sfiorare un esagono
Propongo questo problema che mi è sembrato abbastanza carino, anche se forse non troppo da olimpiadi.
Si ha un esagono regolare e lo si dispone a terra in modo tale che un lato tocchi per intero il suolo. Si lancia ora una particella in modo tale che sfiori tutti e quattro gli altri vertici dell'esagono. Mostrare che il rapporto tra velocità massima e minima della particella è .
Si ha un esagono regolare e lo si dispone a terra in modo tale che un lato tocchi per intero il suolo. Si lancia ora una particella in modo tale che sfiori tutti e quattro gli altri vertici dell'esagono. Mostrare che il rapporto tra velocità massima e minima della particella è .
- Loren Kocillari89
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Re: Sfiorare un esagono
Uhmm non riesco a visualizzarmi l'orbita di tale particella. Un abozzo disegnato sarebbe il meglio!
La fisica è come il sesso: certamente può fornire alcuni risultati pratici, ma non è questo il motivo per cui lo facciamo!
-Richard Feynman
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Re: Sfiorare un esagono
Se ho capito bene, l'esagono giace in un piano verticale; perciò i suoi vertici li immagino nei punti:
Dove il lato è 1, la gravità va lungo , il pavimento è .
Dove il lato è 1, la gravità va lungo , il pavimento è .
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: Sfiorare un esagono
Sì, penso che il modo migliore di disporre l'esagono è quello di Pigkappa (anche se poi in realtà mi importa sapere solo le coordinate dei vertici e , oppure ed ).
- Loren Kocillari89
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Re: Sfiorare un esagono
Sisi ok anche io la vedevo in questo modo ma la particella insomma da dove viene lanciata? Compie un orbita circolare attorno all'esagono che tocca tutti i vertici o un'altra orbita più complessa?? Non vedo proprio il moto di tale particella se qualcuno ce l'ha già la risposta lo dica pure. tanto prima che io mi visualizzi l'orbita ce ne vuole
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Re: Sfiorare un esagono
direi che viene lanciata proprio nel senso di lanciata, moto parabolico e tutto il resto.
- Loren Kocillari89
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Re: Sfiorare un esagono
Si ora finalmente è chiaro. Ero CONVINTO che la particella doveva passare per tutte e 6 i vertici!
La fisica è come il sesso: certamente può fornire alcuni risultati pratici, ma non è questo il motivo per cui lo facciamo!
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Re: Sfiorare un esagono
Premetto che sono un neofita assoluto della fisica ( Potrei dire delle oscenità).
Ci provo.
Definisco l'esagono in modo più generale ( ma non molto...)
dove l è la misura del lato dell'esagono e b è la distanza dall'origine del vertice più vicino a questa.
Sia il vettore velocità iniziale ( immaginiamo che la particella venga lanciata dall'origine per semplicità...) e l'angolo che esso forma con l'asse delle ascisse del nostro sistema di riferimento.
Si ha quindi che
Da cui deriva ( facendo i calcoli adeguati) che
Si ha che:
1)L'asse della parabola deve essere l'asse del lato dell'esagono e che quindi
2)
3)
Mettendo a sistema la 2) e la 3) ( la 1) l'ho scritta per sapere da voi se serve a qualcosa francamente... ) e risolvendo secondo v si dovrebbe ottenerne l'intensità e di conseguenza alfa (? chiedo conferma...) Fatto questo, si ottiene facilmente l'equazione della velocità rispetto al tempo ed è facile ottenere il rapporto cercato, ma mi sembra un po ( tanto) laboriosa come strada da intraprendere...
è corretto ciò che ho pensato di fare ?
Ci provo.
Definisco l'esagono in modo più generale ( ma non molto...)
dove l è la misura del lato dell'esagono e b è la distanza dall'origine del vertice più vicino a questa.
Sia il vettore velocità iniziale ( immaginiamo che la particella venga lanciata dall'origine per semplicità...) e l'angolo che esso forma con l'asse delle ascisse del nostro sistema di riferimento.
Si ha quindi che
Da cui deriva ( facendo i calcoli adeguati) che
Si ha che:
1)L'asse della parabola deve essere l'asse del lato dell'esagono e che quindi
2)
3)
Mettendo a sistema la 2) e la 3) ( la 1) l'ho scritta per sapere da voi se serve a qualcosa francamente... ) e risolvendo secondo v si dovrebbe ottenerne l'intensità e di conseguenza alfa (? chiedo conferma...) Fatto questo, si ottiene facilmente l'equazione della velocità rispetto al tempo ed è facile ottenere il rapporto cercato, ma mi sembra un po ( tanto) laboriosa come strada da intraprendere...
è corretto ciò che ho pensato di fare ?
Re: Sfiorare un esagono
L'equazione della parabola passante per i vertici dell'esagono sistemato nel piano cartesiano come da pigkappa ha equazione con , e infatti si trova che per l=1 (ma è lo stesso per ogni l), si trova che . invece mettendo a sitema le leggi orarie del moto della particella si ha
dove e in cui b non è zero.
Comunque sia ho provato lo stesso a proseguire e ho trovato
e dal primo valore di ho trovato quella che dovrebbe essere la prima equazione risolvente:
Per ora non vado avanti visto che credo proprio di aver toppato
dove e in cui b non è zero.
Comunque sia ho provato lo stesso a proseguire e ho trovato
e dal primo valore di ho trovato quella che dovrebbe essere la prima equazione risolvente:
Per ora non vado avanti visto che credo proprio di aver toppato
Re: Sfiorare un esagono
Dal momento che sappiamo scrivere in coordinate cartesiane la generica traiettoria di un punto nel campo gravitazionale (la parabola), è un po' inutile affrontare tutto in modo "cinematico" (cioè dando le equazioni in forma parametrica: ). è più facile ricondursi al problema di geometria cartesiana equivalente: trovale l'unica parabola per quattro vertici consecutivi di un esagono.
Converrà prendere come asse y l'asse del lato di base; in questo modo la simmetria ci permette di dire che la parabola che cerchiamo ha la forma . Imponendo che passi per i punti e troviamo i parametri a, b:
danno
A questo punto il problema chiede il rapporto tra la velocità massima e quella minima; ma la minima si ha al vertice della parabola (è la sola componente orizzontale costante), mentre la massima si ha alla partenza o all'arrivo (dove la componente verticale è massima). Il rapporto tra questi due valori si ottiene semplicemente dalla pendenza della traiettoria in partenza o in arrivo, che nel linguaggio dell'analisi si scrive
(ma una volta nota la parabola potete calcolarlo un po' come vi pare anche con strumenti non analitici). Questo valore è la tangente dell'angolo di lancio: ; a noi serve il coseno, che si ottiene dalla tangente in questo modo:
Segue
Il valore chiesto era il rapporto tra massimo e minimo cioè il reciproco di questo.
EDIT: per qualche motivo avevo inserito come ascissa del punto di lancio anziché , il che ovviamente sballava i conti. Scusate.
Converrà prendere come asse y l'asse del lato di base; in questo modo la simmetria ci permette di dire che la parabola che cerchiamo ha la forma . Imponendo che passi per i punti e troviamo i parametri a, b:
danno
A questo punto il problema chiede il rapporto tra la velocità massima e quella minima; ma la minima si ha al vertice della parabola (è la sola componente orizzontale costante), mentre la massima si ha alla partenza o all'arrivo (dove la componente verticale è massima). Il rapporto tra questi due valori si ottiene semplicemente dalla pendenza della traiettoria in partenza o in arrivo, che nel linguaggio dell'analisi si scrive
(ma una volta nota la parabola potete calcolarlo un po' come vi pare anche con strumenti non analitici). Questo valore è la tangente dell'angolo di lancio: ; a noi serve il coseno, che si ottiene dalla tangente in questo modo:
Segue
Il valore chiesto era il rapporto tra massimo e minimo cioè il reciproco di questo.
EDIT: per qualche motivo avevo inserito come ascissa del punto di lancio anziché , il che ovviamente sballava i conti. Scusate.