ssc 2007

[antonir91]

Tre punti materiali si muovono su di un piano in modo tale che il modulo v delle loro velocità
risulta costante nel tempo ed uguale per i tre punti. Inizialmente, essi si trovano rispettivamente ai
tre vertici di un triangolo equilatero di lato a e le loro velocità sono dirette lungo i lati del triangolo:
dal primo punto verso il secondo, dal secondo verso il terzo e dal terzo verso il primo.
Successivamente, istante per istante, le direzioni di tali velocità cambiano in maniera che esse siano
sempre dirette, rispettivamente, dal primo punto verso il secondo, dal secondo verso il terzo e dal
terzo verso il primo, mentre i tre punti si muovono sul piano. In altri termini, il primo punto
insegue il secondo, che insegue il terzo, che insegue il primo. Descrivete qualitativamente le
traiettorie percorse dai tre punti tracciandone un disegno schematico. Determinate dove i tre punti si
incontrano e dopo quanto tempo a partire dall’istante iniziale. Calcolate la lunghezza totale della
traiettoria percorsa da ciascuno di essi dall’istante iniziale a quello in cui i tre punti si incontrano.
Quante volte gira attorno al centro del triangolo ciascuno di essi prima di incontrarsi con gli altri ??

[Gauss91]

Non hanno motivo di incontrarsi in un punto diverso dal centro del triangolo (per simmetria).
Notiamo che in ogni momento, per simmetria, le particelle staranno su un triangolo equilatero. Ciò significa che, descrivendo ad ogni istante la circonferenza circoscritta a questo triangolo, la velocità della particella può essere scomposta in una componente radiale e tangenziale. Con semplici considerazioni geometriche, sarà

e , costanti durante il moto.

Quindi, la distanza della particella dal centro del triangolo sarà data da

mentre la velocità angolare della particella a quell'istante sarà da cui si può calcolare l'angolo descritto dalla particella ad un tempo t:
, da cui , che è l'equazione polare di una spirale logaritmica.

Ponendo , si ottiene che le particelle si incontrano dopo un tempo ed essendo e , si ottiene
.

Rettificando la curva, si vede che la particella percorre un tratto in una direzione e un tratto ortogonalmente. Da cui si ricava che la lunghezza totale del percorso è .

Considerando l'espressione prima ricavata per , si vede che al tendere di t al tempo di incontro, , quindi i "giri" del punto materiale divergono.

[Gia91]

Ponendo , si ottiene che le particelle si incontrano dopo un tempo

Non si ottiene e quindi ?

[Gauss91]

Sì! Ma guarda l'espressione di e vedi quando è "infinita". Troverai il mio stesso risultato (hai semplicemente fatto un passaggio superfluo).

[antonir91]

gialex provi anke tu per la ssc???

[Gia91]

Sì! Ma guarda l'espressione di e vedi quando è "infinita". Troverai il mio stesso risultato (hai semplicemente fatto un passaggio superfluo).

Aaah ok!! Grazie

gialex provi anke tu per la ssc???

Si, ci sarò anch'io

[Gauss91]

ma cos'è la ssc?

[Gia91]

Scuola Superiore di Catania

[Fedecart]

Se vi è piaciuuto il problema date un'occhiata a questa (piccola) generalizzazione.
http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... f=7&t=2428

[Gauss91]

Bonus question.
Supponiamo che le palline abbiano massa m. Per muoversi in questo modo, essere devono essere soggette ad una forza F che dipenderà dalla distanza tra le palline (i.e. dal lato del triangolo equilatero formato da esse). Chiamata d la distanza tra due palline, trovare un'espressione per F(d). Si suppongano noti i risultati del post precedente.