Spero di soddisfare la sete di soluzioni di Gauss91...
Allora il ragionamento più breve è considerare una resistenza complessiva
, in cui si contempla tutta l'infinita griglia
retrostante. Poi si mette tra C e D un'altra resistenza R in parallelo al resto della griglia,
a sua volta il nuovo insieme è collegato in serie ad un'altra R, così da avere la resistenza complessiva tra A e B
.
Come faceva notare Ippo questo cambiamento non influisce in modo percepibile sulla configurazione precedente (già infinta), per cui si può porre
, così da avere:
.
Si arriva con alcune semplificazioni alla formula:
.
Da ciò si passa a:
.
Quest'equazione ha come soluzioni:
(questo è proprio il numero di Fidia)
(questo è l'inverso del cosiddetto numero argenteo, che vale
).
Ovviamente queste soluzioni sono accettabili entrambe solo da un punto di vista puramente matematico,
ma
è negativa, il che la rende non valida nel senso fisico della discussione.
Per quel che riguarda la dimostrazione del limite del rapporto tra due numeri successivi della serie di Fibonacci per n che tende a infinito, pubblico di seguito le mie considerazioni.
Usando la relazione
si riduce tutto a:
.
Per un maggiore rigore a questo punto mi sembra giusto considerarare cosa accade se
a) n è pari e quindi n-1 è invece dispari e si ha:
,
;
b) n è dispari e quindi n-1 è invece pari e si ottiene:
,
.
Si tratta di due situazioni diverse che io ho affrontato separatamente.
CASO a) con n pari
.
Estraendo
al numeratore e al denominatore, si arriva alla formula:
.
Infine si ha:
.
CASO b) con n dispari
.
Si estrae ancora
ottenendo:
.
In conclusione anche in questo caso si ha:
.
Ciò dimostra che comunque
e mi fa pensare che la scissione della dimostrazione in due parti, a seconda che n sia dispari o pari, sia stata in qualche modo superflua.
Comunque la matematica non è prerogativa unicamente dei "cugini" del forum OliMat!
In nature we do not find past, present and future as we recognise them, but an evolutionary process of change - energy never trapped for too long - life always becoming.
(Taken and modified from Lighthousekeeping by J. Winterson)