Andata e ritorno di un fotone

[Ippo]

Abbiamo un corpo di massa (a riposo) che si muove in una dimensione a velocità e ad un certo punto emette un fotone di frequenza (misurata nel riferimento del laboratorio), il quale procede dritto, urta uno specchio (fermo nel laboratorio), viene riflesso all'indietro e quindi riassorbito dal corpo che lo aveva emesso.
Tra l'istante prima dell'emissione e quello dopo l'assorbimento, la massa (a riposo) del corpo è la stessa? Se non lo è, calcolarne la variazione e spiegare come mai avendo emesso e poi assorbito lo stesso fotone la massa del corpo non resta uguale.

[Carmelo]

Guardiamo la cosa dal punto di vista della particella, ovvero in un riferimento che si muove (rispetto al laboratorio) con velocità , nel quale il corpo è a riposo prima dell'emissione.
Da qui, il fotone viene emesso con frequenza (NB diversa da ) ed impulso ; quando questo viene riflesso, la variazione della sua quantità di moto (che è anche la variazione della quantità di moto di tutto il sistema) è

In pratica, tra prima dell'emissione e dopo l'assorbimento, il corpo quadagna una quantità di moto netta pari a , senza variare l'energia di cui disponeva.
Rispetto al riferimento del laboratorio, il fotone aveva lunghezza d'onda , mentre nel riferimento in moto si misura (contrazione delle lunghezza) da cui

Per la nostra particella, sempre nel riferimento in moto,



[edit]*mi vengono dei dubbi sulla relazione tra le frequenze...

[Ippo]

Dubbio giustificato in effetti. La relazione per l'effetto Doppler relativistico è

(ci si becca un per la dilatazione dei tempi e poi un per gli stessi argomenti dell'effetto Doppler "classico", e il prodotto dà quel fattore)

Inoltre la relazione finale che dai è scorretta perché ci va e non :

ma il ragionamento è corretto!

c'erano vari approcci per farlo, il più standard dei quali è semplicemente mettersi nel sistema del laboratorio e imporre le conservazioni.
Riformulo infine la mia domandina: la particella come interpreterebbe la sua variazione di massa? (la particella è sempre "ferma" nel suo riferimento, non sa nulla di quantità di moto etc., vede solo un fotone che va e torna...)

[Carmelo]

Doppler... già

devo essermi un po' imbrogliato coi delta... cmq, se non ho capito male, la che hai scritto tu dovrebbe corrispondere a ... ??

In un riferimento solidale con la particella, questa non vede andare e tornare lo stesso fotone! Ciò che noi dal laboratorio vediamo come una variazione di quantità di moto, il corpo lo vede come una modifica dell'energia (frequenza) del fotone dovuta alla variazione del moto relativo tra i due

[Loren Kocillari89]

Ma quando viene rilasciato il fotone, la particella non ne risente riguardo alla quantità di moto?

Cioè mi spiego, se la particella prima stava ferma nel centro del sistema di riferimento in moto, e se il fotone viene rilasciato "a destra", applcando la conservazione della quantità di moto la particella dovrebbe acquisire una velocità seppur piccolissima a sinistra.
E con ciò intendo le formule:

posto
="massa" fotone
=massa particella
=Velocità particella
=massa finale
=velocità finale


dove posto diventa

per la conservazione q.d.m. (dopo l'urto)
per la conservazione dell'energia

Risolvendo mi viene una massa finale inferiore rispetto a quella iniziale e ciò si può interpretare col fatto che la differenza tra le masse sta nel fatto che parte della massa totale si è trasformata in energia cinetica della particella...

La massa finale però mi viene parecchio brutta...

[Carmelo]

è vero, nel passaggio "intermedio" dell'emissione la massa a riposo diminuisce: ma la massa mancante viene recuperata dopo l'assorbimento grazie all'energia (impulso) regalata dallo specchio nella riflessione. Alla fine di tutto, la massa a riposo del corpo aumenta rispetto a prima dell'emissione.

Credo che il modo più carino di vedere la cosa sia quello suggerito da Ippo, ovvero un riferimento sempre solidale con la particella: in questo modo le variazioni sulla massa si possono subito spiegare in termini di energia del fotone che va avanti e indietro

[Ippo]

In un riferimento solidale con la particella, questa non vede andare e tornare lo stesso fotone! Ciò che noi dal laboratorio vediamo come una variazione di quantità di moto, il corpo lo vede come una modifica dell'energia (frequenza) del fotone dovuta alla variazione del moto relativo tra i due

Eeeesatto, questo è quello che intendevo: la particella spedisce un certo fotone e ne riassorbe uno più energetico, per il fatto che (secondo la particella) lo specchio è in avvicinamento e questo dà luogo ad un blueshift del fotone

Comunque la massa deve chiaramente aumentare perché la velocità della particella diminuisce (in entrambi gli urti c'è un "rinculo" all'indietro) mentre l'energia si conserva; la parte cinetica persa non può che andare a finire in energia di riposo (massa).

@LorenKocillari: Occhio che nei calcoli usi l'energia cinetica non relativistica, che non ha senso in questa situazione (soprattutto per il fotone!) E in generale rischi di imbrogliarti parecchio trattando il fotone come una particella massiva, può tornare comodo in certi casi ma qui ad esempio devi ricordarti che la "massa" trasforma cambiando riferimento...

[Loren Kocillari89]

Esatto era proprio questo il punto. Infatti usando una "terminologia" relativistica, si potrebbe trovare un equazione della conservazione dell'energia che porti al risultato.
Infatti ho sentito che il fotone si comporta come onda, ma anche come particella. Nella soluzione che implica il Blueshift si è fatto l'ipotesi che il fotone si comportasse come un'onda. Ma se l'avessimo considerato come una particella?? Come sarebbe venuta l'equazione della conservazione dell'energia?? (Secondo me l'errore che ho commesso è nella formulazione dell'energia, però non so dove e come correggerla...)

[Loren Kocillari89]

Ok aggiusto il tiro, e provo a dare una soluzione che sembrerebbe corretta.
Considero allora,
m="massa" fotone
M=massa particella
V=Velocità particella dopo l'emissione fotone
M_1=massa finale
V_1=velocità finale

dove il sistema di riferimento è solidale con la particella per cui essa risulta ferma all'istante iniziale

allora per la conservazione della q.d.m.

(risultato finale,qui ho saltato qualche passaggio)

poi per la conservazione dell'energia( e qui viene il bello) ho


dove

è l'energia a riposo residua ovvero l'energia che "costituisce" la massa che rimane dopo che è stato emmesso un fotone di energia ma anche quando si perde una certa massa dovuta al fatto che la particella acquisisce una velocità e quindi parte dell'energia si trasforma in energia cinetica
mentre

è l'energia che dopo l'urto tra fotone e specchio torna indietro e contribuisce al recupero della massa persa durante l'emissione. Si noti che parte di questa energia vada a spese del rinculo della particella e quindi va ad aumentare l'energia cinetica, mentre solo una parte di essa andrà ad aumentare l'energia a riposo della particella e quindi la massa a riposo.

Ora dividendo tutto per e togliendo tutti quei termini che presentano rapporti (perchè tendono a 0 dato che V non è una velocità relativistica) e sostituendo a si ottiene la seguente:

--->

dove risolvendo si ottiene una radice che fa tendere a 0 la quale la possiamo escludere xkè già sappiamo che M_1 si aggira intorno al valore M essendo l'energia totale di riposo al massimo trasformata in energia cinetica con una velocità molto inferiore a quella della luce, mentre l'altra radice è
che diventa dopo una approssimazione:


dove
frequenza del fotone quando ritorna

Quindi
che è proprio quello che deriva anche seguendo la strada diversa dell'ipotizzare il fotone come onda ovvero seguendo la strada di Ippo


O almeno dovrebbe!!!

[Ippo]

Continuo a non capire la tua impostazione della conservazione dell'energia, in particolare: perché appaiono degli (in cui immagino che M sia la "massa relativistica", cioè che tu ci abbia incluso la ) insieme a degli non relativistici insieme a degli (che sono delle quantità di moto e non tornano nemmeno dimensionalmente)?
ti ricordo che l'energia di una particella di massa m in moto a velocità v è

che sviluppata al primo ordine in dà i familiari termini di "energia di riposo" e di energia cinetica "classica"


Comunque il problema è immediatamente risolto con la conservazione dell'energia (per la quale vale SEMPRE la relazione ) e le considerazioni sulla quantità di moto nel riferimento del laboratorio:

dove

eccetera eccetera.