Orali SNS

[Reginald]

Sono nuovo del forum, mi piace la fisica e la matematica....ho un problemino da proporvi, spero non sia troppo facile..
Questo è un problema che hanno dato ad un mio conoscente agli orali dell'ammissione in Normale, spero non sia già stato postato...allora

Ci sono 2 palline di massa m_1 e m_2,le metto a contatto una sopra l'altra e le lascio cadere da un' altezza h. Dire cosa succede dopo il rimbalzo...tutto senza attrito e gli urti sono perfettamente elastici...

[Nagdhar]

Il sistema fisico in questione potrebbe essere analogicamente inteso ad una variante del pendolo di Newton, supponendo che a fornire il movimento delle sfere più esterne ne siano due all'estremità opposta poste inizialmente a contatto fra di loro e distanziate dalla loro posizione di equilibrio.
Si osserva che le due sfere messe () artificialmente in moto, una volta aver scontrato la massa centrale, producono il movimento contiguo delle rimanenti due.
Per analogia le due sferette di massa m1 ed m2 dopo aver scontrato un enorme massa centrale (il pavimento privo di attrito) si sollevano entrambe in aria come se fossero un unico corpo.

[Pigkappa]

Il sistema fisico in questione potrebbe essere analogicamente inteso ad una variante del pendolo di Newton, supponendo che a fornire il movimento delle sfere più esterne ne siano due all'estremità opposta poste inizialmente a contatto fra di loro e distanziate dalla loro posizione di equilibrio.
Si osserva che le due sfere messe artificialmente in moto, una volta aver scontrato la massa centrale, producono il movimento contiguo delle rimanenti due.
Per analogia le due sferette di massa m1 ed m2 dopo aver scontrato un enorme massa centrale (il pavimento privo di attrito) si sollevano entrambe in aria come se fossero un unico corpo.

N.B.: la critica che segue vuol essere bonaria e non piccata, però è bene rimarcare una cosa.

A me questo messaggio dà l'impressione che tu voglia far sembrare di saperne tanto usando dei paroloni. Questo atteggiamento non è particolarmente apprezzato, anzi. Spero che il problema sia linguistico (magari non sai bene l'italiano...), ma temo di no.
Mi spiego: cosa significa la parola "analogicamente" là in mezzo? Perchè evidenzi parole in modo apparentemente casuale?

Inoltre citare l'equivalenza con un sistema come il pendolo di Newton, che apparentemente è così diverso, meriterebbe qualche spiegazione in più. Il risultato a cui arrivi alla fine credo che sia sbagliato.

[Gauss91]

Le palline si staccano l'una dall'altra: basta considerare un sistema di riferimento fisso rispetto alle palline e con il pavimento che le urta a velocità e il fatto è evidente con poche considerazioni meccaniche (le velocità sono diverse perché l'urto dà ugual forza a masse diverse).
Adesso una breve analisi quantitativa.
Supponiamo che m_1 sta in basso (una sopra l'altra intuisco che i centri siano allineati con la verticale). Tocca terra la pallina m_1 con velocità , e in una frazione di secondo urta quella sopra di essa, trasferendole quantità di moto. Il parametro d'urto è 0, le uniche forze agenti sono (localmente) quelle impulsive che sono uguali e contrarie per la terza legge di Newton, quindi si può impostare la conservazione della qdm, nel caso unidimensionale (v_i sono le velocità con cui le palline partono verso l'alto):

gli urti sono anelastici, quindi si conserva anche l'energia cinetica totale (al momento dell'urto sia chiaro):
.
Risolvendo questo sistema di due equazioni in due incognite si trovano le due velocità.
Se gli urti sono perfettamente elastici, tra l'altro, si può notare che l'energia totale si conserva e che il centro di massa delle due palline raggiungerà la stessa altezza di prima dell'urto (quale non possiamo dirlo esattamente perché non conosciamo i dati delle palline).

[Nagdhar]

Spiegazione circa l'analogia con il pendolo di Newton per ():
- la similitudine mi era venuta in mente pensando al fatto che una volta terminato l'urto col pavimento, il corpo (costituito dalle due masse) sarebbe risalito fino alla stessa altezza per poi scendere nuovamente a terra in un infinito moto periodico, che avrebbe potuto richiamare il moto oscillatorio del pendolo di Newton a due sfere congiunte in movimento (trascurando tutti gli attriti).
Concordo pienamente con Gauss91 per (), ma se m1 fosse minore di m2, con m1 la sfera che sta sotto a m2, potrebbe ancora accadere che le due masse restino a contatto .

[Gauss91]

ma se m1 fosse minore di m2, con m1 la sfera che sta sotto a m2, potrebbe ancora accadere che le due masse restino a contatto

Ho fatto qualche "esperimentino" molto casalingo con due monete e il mio braccio possente che le urta . So che non è assolutamente plausibile come risultato, ma ho trovato un risultato stupefacente: le monete, sia che abbiano la stessa massa sia che una sia da 1cent l'altra da 2€, rimangono SEMPRE attaccate e anche in modo molto evidente! .
Probabilmente quindi la soluzione di quel sistema potrebbe addirittura contraddire Pigkappa! .
Infatti ho risolto il sistema, ed è venuto, in modo abbastanza controintuitivo, che le velocità sono esattamente uguali a v: le palline rimangono a contatto.
Diamo a Cesare quel che è di Cesare: Nagdhar, anche se ha spiegato male e comunque non ha dimostrato rigorosamente la sua asserzione, aveva ragione.
Ciò che mi consola è che era un problema facile (alla fine si trattava di risolvere un sistema e solo la mia incallita pigrizia mi ha condotto su una via sbagliata! ).

[Pigkappa]

In realtà l'equazione che hai scritto per la quantità di moto mi convince abbastanza poco (indovina perchè).

[Gauss91]

Bah sinceramente non riesco a cogliere... .
E' chiaro che il baricentro del sistema rimbalza sempre come un corpo rigido, quindi nel momento "un attimo prima" e "un attimo dopo" l'urto, la sua quantità di moto deve rimanere costante (in modulo).
Prima dell'urto, la sua quantità di moto è , dopo l'urto è , in cui si è posto il caso generale di velocità diverse.
Io l'ho impostata pensando al fatto che prima di tutto, in un caso ideale, il parametro d'urto è 0 quindi ci si può ridurre al caso unidimensionale. E poi, le uniche forze che agiscono sul sistema sono quelle impulsive, interne al sistema stesso (si può trascurare la forza di gravità nell'attimo dell'urto), quindi non c'è alcuna forza che cambia il MODULO della quantità di moto totale.
Dove sbaglio?

[Alex90]

Provate a farlo con una pallina da tennis sopra un pallone da basket e ne riparliamo

[Reginald]

Allora, dal profondo della mia ignoranza...secondo me bisognerebbe considerare come se rimbalzasse prima la pallina più in basso e poi tornando verso l'alto urta immediatamente quella piccola...perchè ci sono due urti, quello pallina in basso-pavimento, e quello pallina-pallina....in questo modo la pallina più un alto se ha massa minore dell'altra schizza via dopo l'urto....però boh...