Higgs ha scritto: ↑29 set 2023, 17:41
Io ho pensato semplicemente che se m<<M il centro di massa coincide con il centro dell'asteroide ed ho fatto i conti di conseguenza. Sono stato evidentemente semplicistico come mi capita...
La tua interpretazione non è così semplicistica come sembra; anzi, essa è in un certo senso corretta. La problematica risiede nella
maniera in cui tale idea viene applicata ai calcoli nello svolgimento. Cerco di avanzare una spiegazione.
Decretando la coincidenza del centro di massa con il centro dell'asteroide maggiore, hai giustamente approssimato la distanza
del centro di massa del sistema dalla posizione in cui l'asteroide minore di massa
è incastrato, al raggio
dell'asteroide maggiore, assumendo dunque
. Tale approssimazione, tuttavia, dev'essere effettuata
in ognuno dei passaggi del procedimento, con annessa sostituzione in ognuna delle grandezze coinvolte,
non soltanto nell'espressione finale della forza centripeta . Attuando quest'ultimo metodo, si giunge ad un grado di approssimazione soltanto parziale rispetto alla condizione
.
Passo ad esaminare i tuoi svolgimenti contrassegnati da A) e B).
Higgs ha scritto: ↑27 set 2023, 18:21
A)Scusatemi ma anche se il mio risultato è diverso voglio postare quello che nelle mie intenzioni era il procedimento emendandolo dall'errore evidenziato da Pigkappa. 1) Come ho scritto nel mio primo post ho inteso dal testo che il centro di massa (ecco perché non ne parlavo)coincidesse con il centro dell'asteroide da dove passava l'asse di rotazione 2) In effetti se v' è la velocità di traslazione dell'asteroide quella di m incastrato è
. Allora per la conservazione della quantità di moto risulta
mentre per la conservazione del momento angolare risulta
La quantità di moto rotatoria dell'asteroide è nulla. Fatti i conti se non ho fatto errori risultano
e
per cui
Qui, avendo assunto il centro dell'asteroide di massa
come centro di massa del corpo rigido, hai giustamente imposto la conservazione del momento angolare rispetto al centro di suddetto asteroide. Questo particolare metodo non ti permette di considerare e valutare la distanza
, che viene correttamente introdotta soltanto alla fine del procedimento, giustappunto non prima della determinazione dell'espressione di
. Bisogna trovare un metodo differente da quello appena menzionato.
Higgs ha scritto: ↑27 set 2023, 18:21B) Se uno abbandona l'ipotesi del centro dell'asteroide come centro di massa allora trova che quest'ultimo dista
dal centro dell'asteroide e ovviamente dista (R-x) da m. Allora per quanto riguarda la quantità di moto traslatoria uno può immaginare la massa m+M che viaggia a velocità v' ? E per quanto riguarda il momento angolare uno deve calcolare il momento di inerzia dell'asteroide rispetto al centro di massa ottenendo
per quanto riguarda M e
per quanto riguarda m? Ma come fa
ad essere lo stesso? Come vedete ho parecchi dubbi. Se comunque mi dite che questa è la strada farò i conti per vedere se ottengo il vostro risultato. Grazie.
Ti consiglio di svolgere i calcoli seguendo tale metodo. Impostando le equazioni necessarie per il calcolo delle grandezze che compaiono in
, avrai a disposizione termini contenenti
, dunque non ti sarà difficile effettuare le approssimazioni discusse.
In generale, l'assunzione che conduce all'approssimazione inizialmente citata, da te partorita per via meramente concettuale, deriva
da un'implicazione algebrica della relazione
. In questo caso, ragionare per via induttiva (partendo da una premessa particolare, ovvero la condizione
imposta dal testo, per pervenire ad un'approssimazione più generale, cioè
) appare più utile, in quanto consente di approdare al risultato corretto
tramite qualunque metodo si scelga di adottare (ce ne sono veramente moltissimi, e prevedono equazioni di conservazione tutte differenti ma parimenti esatte e ragionevoli). C'è un preciso motivo per il quale ho espresso la forza
nella forma
, e non - invece - mediante un'espressione simbolica come la tua (ugualmente corretta e ad essa corrispondente). Prova a ragionarci sopra.
Concludo dicendo che la procedura sopra descritta è
accettabile per un problema del genere, ove non sono richieste approssimazioni puntuali e per il quale il metodo risulta dunque ragionevole, ma, a rigore, non è quella
corretta. Appare sempre molto rischioso svolgere approssimazioni di tale sorta, soprattutto in determinati contesti. Lo dimostrerò nel mio procedimento.
Infine, ritengo giusto (credo che @Pigkappa convenga con me) aspettare la tua risposta prima di pubblicare il mio svolgimento con annessi calcoli. Sei stato molto bravo, perciò penso che
tu debba avere l'onore di pervenire anche a quest'altro risultato semplificato di
prima che tu medesimo lo possa leggere dal mio messaggio.