Pigkappa ha scritto: ↑14 set 2023, 13:08
Direi che si può anche procedere usando solo la prima interpretazione
Ho risolto il problema usando questa intepretazione, giusto per vedere se si puo' fare, e la risposta e' si'. Scrivo qua come l'ho fatto. La configurazione 3D di questo problema e' solo una distrazione, per illustrare quel che ho in mente penso al problema piu' semplice di un cilindro che scende giu' per un piano inclinato normale. Sia
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle \alpha)
l'angolo di inclinazione e il coefficiente adimensionale
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle \beta)
sia tale che il momento di inerzia del cilindro rispetto al suo centro
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle O)
sia
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle I_O = \beta m R^2)
. Se il cilindro e' di densita' uniforme
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle \beta = \frac{1}{2})
. Sia
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle P)
il punto di contatto tra piano e cilindro.
Interpretazione 1 - Rotazione attorno a P)
Il cilindro ruota attorno al punto
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle P)
con velocita' angolare
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle \omega)
. La componente della gravita' parallela al piano fa aumentare questa velocita' angolare. Mettendo in relazione il momento della forza e l'aumento di momento angolare si ha:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle I_P \frac{d \omega}{dt} = R m g \sin \alpha)
. Il momento di inerzia rispetto a
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle P)
vale
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle I_P = (1+\beta) m R^2)
per Steiner. Da queste ricaviamo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle \frac{d \omega}{dt} = \frac{g \sin \alpha}{R(1 + \beta)})
.
Il centro del cilindro ruota con velocita'
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle v = \omega R)
, quindi accelerazione
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle a = \frac{d \omega}{dt} R = \frac{g \sin \alpha}{1 + \beta})
.
Le forze sul cilindro, parallelamente al piano, sono la gravita' e la forza di attrito
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle F_a)
. Quest'ultima finora non e' comparsa perche' rispetto a
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle P)
non faceva momento torcente. Usando
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle F = ma)
, troviamo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle F_a = m g \sin \alpha - ma = \frac{\beta}{1 + \beta} m g \sin \alpha)
. La forza di attrito e'
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle \le \mu m g \cos \alpha)
e mettendo insieme queste cose, troviamo
Intepretazione 2 - Traslazione e rotazione attorno ad O)
In questo caso, valutando la rotazione attorno ad
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle O)
, il momento torcente viene dalla forza di attrito, per cui
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle I_O \frac{d \omega}{dt} = R F_a)
e usando
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle v = \omega R \Rightarrow a = \frac{d \omega}{dt} R)
troviamo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle a = \frac{R F_a}{I_O} R = \frac{F_a}{\beta m} \Rightarrow F_a = \beta m a)
.
Scrivendo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle F = ma)
sul cilindro,
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle m g \sin \alpha - F_a = ma)
, sostituendo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle F = \beta m a)
troviamo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle a = \frac{g \sin \alpha}{1 + \beta})
come nella soluzione sopra.
Sostituendo in
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle F_a)
troviamo
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle F_a = \frac{\beta}{1 + \beta} m g \sin \alpha)
come sopra. Imponendo anche qua che sia
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle F_a \le \mu m g \cos \alpha)
troviamo il risultato
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle \mu \ge \tan \alpha \frac{\beta}{1 + \beta})
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)