310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
Una macchina scivola senza attrito giù per una rampa liscia discendente descritta da una funzione h(x) decrescente rispetto all'ascissa x compresa fra 0 ed L. La rampa discendente termina per x=L ed è seguita senza discontinuità da un anello della morte liscio di raggio R su cui la macchina prosegue la sua corsa ora ascendente. L'accelerazione di gravità è g diretta verso il basso e perpendicolare all'asse x. La macchina parte da ferma dalla quota h(0)=.
a) Determinare la quota minima per cui la macchina percorre l'anello senza mai staccarsene
b) Considerata la rampa discendente con determinare la componente della velocità della macchina lungo l'asse x , cioè , in funzione di h(x) e h'(x).
PS mi piacerebbe riportare una figura in qualche testo; c'è un modo semplice per farlo?
a) Determinare la quota minima per cui la macchina percorre l'anello senza mai staccarsene
b) Considerata la rampa discendente con determinare la componente della velocità della macchina lungo l'asse x , cioè , in funzione di h(x) e h'(x).
PS mi piacerebbe riportare una figura in qualche testo; c'è un modo semplice per farlo?
Re: 310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
Per la prima richiesta il risultato mi viene ; se confermi procedo alla giustificazione.
Per il secondo punto ho bisogno di una precisazione. Dire:
Per il secondo punto ho bisogno di una precisazione. Dire:
Significa conoscere e in ogni punto (e dunque la posizione iniziale della particella, data da e l'inclinazione della retta tangente alla curva in ogni punto), ma non conoscere velocità iniziale del corpo? Grazie
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Re: 310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
Confermo il risultato di Torros per il primo punto.
Forse ho trovato la soluzione del secondo.
Se mi date il via libero la scrivo, altrimenti lascio fare a Torros
Forse ho trovato la soluzione del secondo.
Se mi date il via libero la scrivo, altrimenti lascio fare a Torros
Re: 310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
a Torros: il risultato è corretto. Per il resto la velocità iniziale è nota perché il testo dice che parte da ferma.
a Leccese: non so come la pensi Pigkappa ma per quanto ne so tu non hai bisogno di nessuna autorizzazione perché nessuno ha impedito a Torros di postare la sua soluzione del secondo quesito
a Leccese: non so come la pensi Pigkappa ma per quanto ne so tu non hai bisogno di nessuna autorizzazione perché nessuno ha impedito a Torros di postare la sua soluzione del secondo quesito
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Re: 310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
Primo punto.
Sulla macchina agiscono sempre la forza peso, la forza centrifuga e la reazione vincolare. Nel punto più alto del percorso, forza peso e forza centrifuga hanno versi opposti e perché la macchina rimanga attaccata al terreno si deve avere
e quindi
Da cui si risolve per , ovvero la velocità nel punto più alto:
L'energia in questa situazione è:
Questa, per la conservazione dell'energia, deve essere la stessa della situazione iniziale, dove la quota è e la velocità nulla:
Uguagliando le due espressioni si ricava
Secondo punto
La velocità può essere come sempre scomposta in due componenti:
Moltiplicando entrambi i membri per si ottiene:
Ora divido per :
Ora, è , mentre è .
Riscrivendo:
Per trovare , facciamo di nuovo delle considerazioni energetiche. L'energia totale del sistema è conservata e vale:
come nel primo punto.
Per una ascissa generica, invece, abbiamo:
Uguagliando le due espressioni e risolvendo per otteniamo:
Sostituendo nell'equazione trovata prima, concludiamo che
Proviamola su due casi particolari:
1) se , ovviamente troviamo , in quanto la velocità iniziale era nulla per ipotesi.
2) se , per come abbiamo impostato il problema, dovrebbe essere e , in quando la curva subito prima del giro della morte è piana; di conseguenza , ovvero l'intera velocità della macchina è diretta lungo l'asse delle ascisse.
Il risultato trovato dovrebbe potersi estendere anche al caso in cui la velocità iniziale sia diversa da zero.
Sulla macchina agiscono sempre la forza peso, la forza centrifuga e la reazione vincolare. Nel punto più alto del percorso, forza peso e forza centrifuga hanno versi opposti e perché la macchina rimanga attaccata al terreno si deve avere
e quindi
Da cui si risolve per , ovvero la velocità nel punto più alto:
L'energia in questa situazione è:
Questa, per la conservazione dell'energia, deve essere la stessa della situazione iniziale, dove la quota è e la velocità nulla:
Uguagliando le due espressioni si ricava
Secondo punto
La velocità può essere come sempre scomposta in due componenti:
Moltiplicando entrambi i membri per si ottiene:
Ora divido per :
Ora, è , mentre è .
Riscrivendo:
Per trovare , facciamo di nuovo delle considerazioni energetiche. L'energia totale del sistema è conservata e vale:
come nel primo punto.
Per una ascissa generica, invece, abbiamo:
Uguagliando le due espressioni e risolvendo per otteniamo:
Sostituendo nell'equazione trovata prima, concludiamo che
Proviamola su due casi particolari:
1) se , ovviamente troviamo , in quanto la velocità iniziale era nulla per ipotesi.
2) se , per come abbiamo impostato il problema, dovrebbe essere e , in quando la curva subito prima del giro della morte è piana; di conseguenza , ovvero l'intera velocità della macchina è diretta lungo l'asse delle ascisse.
Il risultato trovato dovrebbe potersi estendere anche al caso in cui la velocità iniziale sia diversa da zero.
Ultima modifica di Francesco Leccese il 15 lug 2023, 18:36, modificato 2 volte in totale.
Re: 310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
Ah, perfetto. Ho provato il secondo punto dopo un po' di tempo e mi ero completamente dimenticato della frase che specifica le condizioni iniziali .
Assolutamente. Ho creato problemi io scrivendo la soluzione del primo. Avrei prima dovuto chiedere le informazioni sul secondo quesito e successivamente postare la soluzione completa. Mi scuso con Leccese che aveva trovato la soluzione per primo e lo invito dunque a postare anche la soluzione del primo punto per essere completamente legittimato a prendere il testimone.
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Re: 310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
Perfetto, allora modifico il messaggio e scrivo anche il primo punto, così è tutto insieme.
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Re: 310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
Ho modificato.
Aspettiamo conferma da Higgs.
Aspettiamo conferma da Higgs.
Re: 310 - Rampa discendente seguita da anello della morte
Il tuo risultato Leccese è ora completo e corretto A te la staffetta|