228. Particella e circonferenza
228. Particella e circonferenza
Questo e' un altro problema avanzato dalla riserva di quelli per il preIPhO. Non peer-reviewed per cui potrebbero esserci inesattezze nella mia soluzione, ma speriamo di no.
Link al testo su Overleaf: https://www.overleaf.com/read/sggtgxtgcyqh .
Clickando in alto a destra una delle opzioni vicino a "Recompile" vi permette di scaricarlo come PDF. Postate anche soluzioni parziali, se non ci sono progressi entro ~3 giorni lascio libera la staffetta perche' non voglio paralizzarla prima degli orali SNS.
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"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: 228. Particella e circonferenza
Non mi è chiaro un punto del testo. Nella seconda assunzione della parte C, la velocità della struttura che si deve considerare è quella del centro di massa della circonferenza o quella del punto di contatto (quindi tenendo conto pure della velocità angolare)?
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Re: 228. Particella e circonferenza
Quella rispetto al punto di contatto.
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Re: 228. Particella e circonferenza
Parte A
1. La reazione normale fra circonferenza e particella agisce lungo , pertanto entrambi gli oggetti avranno velocità solo verticali dopo l'urto e la circonferenza non acquisirà velocità angolare. Detta la velocità di dopo l'urto, si ha allora e . Dalla conservazione di qdm ed energia:
Risolvendo, e , quindj
2. Mi metto in un sistema di riferimento in cui la circonferenza è ferma. Allora . L'urto avviene quando la particella tocca l'estremo inferiore della circonferenza, dopo che in questo sistema di riferimento ha percorso una distanza , e quindi avviene al tempo . Tornando nel sistema del laboratorio, si ha che , con la posizione del primo urto. Risolvendo, e .
3. Per gli stessi motivi del punto 1. è . Usando di nuovo le leggi di conservazione, e ricordando che per motivi fisici sarà (la particella non scavalca la circonferenza), si ricava e , cioè i valori iniziali.
4. Inserendo i valori numerici ottengo , , . Osservo ora che, a , la particella urterà di nuovo la circonferenza nel suo estremo superiore, nel punto . In effetti, il moto si ripete periodicamente ogni ma traslato di vettore , perchè e . Pertanto .
Parte B
5. Di nuovo, la forza normale agisce lungo e perciò , . Le leggi di conservazione della qdm e dell'energia assumono perciò le forme:
Sapendo che , si ricava ,
6. Ora mi sposto nuovamente in un sistema solidale con e noto che , quindi il secondo urto si ha dell'estremo destro della circonferenza a un tempo dato da . Procedendo come prima, trovo allora che
Domani posto la Parte C .
1. La reazione normale fra circonferenza e particella agisce lungo , pertanto entrambi gli oggetti avranno velocità solo verticali dopo l'urto e la circonferenza non acquisirà velocità angolare. Detta la velocità di dopo l'urto, si ha allora e . Dalla conservazione di qdm ed energia:
Risolvendo, e , quindj
2. Mi metto in un sistema di riferimento in cui la circonferenza è ferma. Allora . L'urto avviene quando la particella tocca l'estremo inferiore della circonferenza, dopo che in questo sistema di riferimento ha percorso una distanza , e quindi avviene al tempo . Tornando nel sistema del laboratorio, si ha che , con la posizione del primo urto. Risolvendo, e .
3. Per gli stessi motivi del punto 1. è . Usando di nuovo le leggi di conservazione, e ricordando che per motivi fisici sarà (la particella non scavalca la circonferenza), si ricava e , cioè i valori iniziali.
4. Inserendo i valori numerici ottengo , , . Osservo ora che, a , la particella urterà di nuovo la circonferenza nel suo estremo superiore, nel punto . In effetti, il moto si ripete periodicamente ogni ma traslato di vettore , perchè e . Pertanto .
Parte B
5. Di nuovo, la forza normale agisce lungo e perciò , . Le leggi di conservazione della qdm e dell'energia assumono perciò le forme:
Sapendo che , si ricava ,
6. Ora mi sposto nuovamente in un sistema solidale con e noto che , quindi il secondo urto si ha dell'estremo destro della circonferenza a un tempo dato da . Procedendo come prima, trovo allora che
Domani posto la Parte C .
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Re: 228. Particella e circonferenza
Parte C
Dato che nel testo sono richiesti solo i valori numerici delle risposte, mi limito a sintetizzare come ho proceduto: ho usato di nuovo la conservazione della qdm, con l'aggiunta di quella del momento angolare per la velocità angolare della circonferenza. Per l'energia e la velocità relativa ho scritto e . Quando un'equazione quadratica dava due possibili risultati, ho preso quello cui corrispondeva la non uscita della particella dalla circonferenza, e al secondo urto ho imposto che la velocità della particella dopo l'urto fosse uguale a quella del punto di contatto, una volta verificato che l'urto riguardava la parte della struttura cosparsa di colla.
7. ,
8. ,
9. ,
10. , in senso orario.
Ho dovuto scrivere 3 pagine di conti e contazzi per cui quasi certamente ho sbagliato qualcosa , ma intanto queste sono le mie risposte.
Dato che nel testo sono richiesti solo i valori numerici delle risposte, mi limito a sintetizzare come ho proceduto: ho usato di nuovo la conservazione della qdm, con l'aggiunta di quella del momento angolare per la velocità angolare della circonferenza. Per l'energia e la velocità relativa ho scritto e . Quando un'equazione quadratica dava due possibili risultati, ho preso quello cui corrispondeva la non uscita della particella dalla circonferenza, e al secondo urto ho imposto che la velocità della particella dopo l'urto fosse uguale a quella del punto di contatto, una volta verificato che l'urto riguardava la parte della struttura cosparsa di colla.
7. ,
8. ,
9. ,
10. , in senso orario.
Ho dovuto scrivere 3 pagine di conti e contazzi per cui quasi certamente ho sbagliato qualcosa , ma intanto queste sono le mie risposte.
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Re: 228. Particella e circonferenza
Mi vengono diversi il 4, 7, 8, 9 e 10. Indubbiamente ci sono tanti conti negli ultimi, magari guarda se le equazioni che abbiamo impostato sono diverse... Mia soluzione a https://www.overleaf.com/read/bpmkvytchmpd
Buon lavoro comunque, a te la staffetta
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Re: 228. Particella e circonferenza
Dunque...
4. Mi sembra che tu non abbia considerato che, a , la particella sta in , quindi ti viene un'ordinata della posizione finale minore di una quantità .
7. 8. 9. 10. Abbiamo usato le stesse equazioni, solo che, in quella che è la tua (25), io ho scritto invece che avendo dimenticato che la componente iniziale della velocità della particella è e non . Il bello è che nelle altre equazioni ho usato il valore corretto! Quindi errore mio, e da qui mi sono derivati errori numerici a catena.
Al 9. hai scritto che le velocità di pallina e circonferenza sono uguali, riferendoti per quest'ultima alla velocità del suo cdm. Io invece ho posto la velocità della pallina dopo l'urto uguale a quella del punto di contatto, cioè , dato che altrimenti la pallina scivola lungo la circonferenza pur non muovendosi rispetto al cdm della struttura. È giusto così?
P. S. Li fate sempre così contosi i problemi del Pre-IPhO?
4. Mi sembra che tu non abbia considerato che, a , la particella sta in , quindi ti viene un'ordinata della posizione finale minore di una quantità .
7. 8. 9. 10. Abbiamo usato le stesse equazioni, solo che, in quella che è la tua (25), io ho scritto invece che avendo dimenticato che la componente iniziale della velocità della particella è e non . Il bello è che nelle altre equazioni ho usato il valore corretto! Quindi errore mio, e da qui mi sono derivati errori numerici a catena.
Al 9. hai scritto che le velocità di pallina e circonferenza sono uguali, riferendoti per quest'ultima alla velocità del suo cdm. Io invece ho posto la velocità della pallina dopo l'urto uguale a quella del punto di contatto, cioè , dato che altrimenti la pallina scivola lungo la circonferenza pur non muovendosi rispetto al cdm della struttura. È giusto così?
P. S. Li fate sempre così contosi i problemi del Pre-IPhO?
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Re: 228. Particella e circonferenza
Hai ragione sul 4 e sul 9.
C'è parecchia variabilità in quel che viene proposto, io sono dell'idea che di dare problemi con conti simili a quelli IPhO dato che stiamo selezionando per le IPhO. Di solito però sono meno pesanti. Questo non era particolarmente interessante e di meccanica ne abbiamo sempre parecchi tra cui scegliere per cui non penso sarebbe mai stato preso.
C'è parecchia variabilità in quel che viene proposto, io sono dell'idea che di dare problemi con conti simili a quelli IPhO dato che stiamo selezionando per le IPhO. Di solito però sono meno pesanti. Questo non era particolarmente interessante e di meccanica ne abbiamo sempre parecchi tra cui scegliere per cui non penso sarebbe mai stato preso.
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