115. Il campo nel cilindro
115. Il campo nel cilindro
Un campo magnetico variabile nel tempo, di induzione , riempie uniformemente un volume cilindrico di raggio ed è diretto come il suo asse. Determinare la corrente che si induce su una corda del cerchio sezione ortogonale del cilindro, materializzata da un sottile conduttore rettilineo lungo e di resistenza .
Domanda Bonus: se fra gli estremi della corda il conduttore ha forma diversa dalla corda, ad es. un arco di circonferenza di raggio e con la medesima resistenza ,varia la corrente? Perchè?
Hint: si determina l'intensità del campo elettrico a distanza r dall'asse del cilindro immaginando una spira circolare di raggio r e calcolando la fem indotta ai suoi capi per mezzo della usuale legge di Faraday-Lenz. Si può calcolare poi la componente del campo sul conduttore rettilineo in funzione della distanza del conduttore dall'asse...Ricordare che il campo indotto non è conservativo..
Domanda Bonus: se fra gli estremi della corda il conduttore ha forma diversa dalla corda, ad es. un arco di circonferenza di raggio e con la medesima resistenza ,varia la corrente? Perchè?
Hint: si determina l'intensità del campo elettrico a distanza r dall'asse del cilindro immaginando una spira circolare di raggio r e calcolando la fem indotta ai suoi capi per mezzo della usuale legge di Faraday-Lenz. Si può calcolare poi la componente del campo sul conduttore rettilineo in funzione della distanza del conduttore dall'asse...Ricordare che il campo indotto non è conservativo..
Ultima modifica di guido il 15 mar 2017, 18:18, modificato 2 volte in totale.
Re: 115. Il campo nel cilindro
Il conduttore è così sottile da avere superficie nulla??
Re: 115. Il campo nel cilindro
No, non è necessario. Aggiungo al riguardo un'interessante domanda Bonus.
Re: 115. Il campo nel cilindro
Essendo passate più di due settimane dalla postazione ho ritenuto di dare un lungo e sostanzioso suggerimento...
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Re: 115. Il campo nel cilindro
Dopo tanto tempo, ci provo io
Mi risulta:
Mi risulta:
Re: 115. Il campo nel cilindro
Finalmente, disperavo che la staffetta dopo credo qualche anno finisse con il mio post nonostante l'esplicito hint di oltre due settimane fa..e non mi sarebbe piaciuto. Non credo che avrai rivali per il testimone. Posta il procedimento e risolvi ormai anche la Bonus!
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Re: 115. Il campo nel cilindro
L'induzione magnetica nel volume cilindrico preso in considerazione aumenta linearmente, una variazione di flusso magnetico induce un campo elettrico che per simmetria avrà linee di campo chiuse e circolari concentriche. La f.e.m. indotta su queste circonferenze è data dalla legge dell'induzione di Faraday .
Considerandola circonferenza tangente alla corda si ha: .
Ricavando il campo: .
La componente parallela alla corda del campo elettrico è sempre uguale , quindi la differenza di potenziale ai capi della corda è .
La corrente vale dunque , da cui: .
Per il bonus: la corrente varia, in quanto se per esempio anzichè una corda il conduttore fosse un arco di circonferenza con lo stesso ragionamento si ottiene: . Penso che questo si possa interpretare in questo modo: dato che non abbiamo una spira reale cui applicare la legge di Faraday è necessario valutare il campo magnetico indotto, questo ha modulo tanto maggiore quanto più aumenta la distanza dal centro della regione cilindrica, possiamo dire in analogia con una spira reale. Per esempio considerando gli estremi del conduttore, in quei due punti nel primo caso bisogna considerare la componente parallela alla corda del vettore campo elettrico, mentre nel secondo caso il vettore è già parallelo al conduttore dato che è tangente all'arco di circonferenza.
Considerandola circonferenza tangente alla corda si ha: .
Ricavando il campo: .
La componente parallela alla corda del campo elettrico è sempre uguale , quindi la differenza di potenziale ai capi della corda è .
La corrente vale dunque , da cui: .
Per il bonus: la corrente varia, in quanto se per esempio anzichè una corda il conduttore fosse un arco di circonferenza con lo stesso ragionamento si ottiene: . Penso che questo si possa interpretare in questo modo: dato che non abbiamo una spira reale cui applicare la legge di Faraday è necessario valutare il campo magnetico indotto, questo ha modulo tanto maggiore quanto più aumenta la distanza dal centro della regione cilindrica, possiamo dire in analogia con una spira reale. Per esempio considerando gli estremi del conduttore, in quei due punti nel primo caso bisogna considerare la componente parallela alla corda del vettore campo elettrico, mentre nel secondo caso il vettore è già parallelo al conduttore dato che è tangente all'arco di circonferenza.
Re: 115. Il campo nel cilindro
Bene, ti passo il testimone della staffetta anche se sulla risposta alla bonus che tu dai in questo caso specifico doveva secondo me essere data la risposta generale sottolineata nel mio hint: il campo indotto NON è conservativo. Questo vuol dire che l'integrale fra due punti (fem) non dipende solo dai due punti come ad es. nel caso del campo elettrostatico conservativo ma anche dal PERCORSO di integrazione, corda o arco nel nostro caso.
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Re: 115. Il campo nel cilindro
Sono pienamente d'accordo sulla giustificazione generale, ho fatto l'esempio perché l'avevi citato.
Appena riesco posto il 116
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