105. Palla su foglio di carta

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step98
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105. Palla su foglio di carta

Messaggio da step98 » 2 nov 2016, 22:59

Una palla rotola senza scivolare su un foglio di carta posto su un tavolo. Si comincia a muovere questo foglio orizzontalmente in maniera casuale, e lo si può anche tirare bruscamente in modo tale da far slittare la palla. Alla fine si lascia che la palla esca dal foglio di carta e continui a muoversi sul tavolo, fino a quando non avrà ricominciato a rotolare senza slittare. Trovare la velocità che ha ora la palla in funzione di quella iniziale.

FedericoC.
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Re: 105. Palla su foglio di carta

Messaggio da FedericoC. » 3 nov 2016, 14:51

Se non sbaglio dovrebbe essere la stessa

step98
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Re: 105. Palla su foglio di carta

Messaggio da step98 » 3 nov 2016, 15:25

Esattamente. Vai col procedimento.

FedericoC.
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Re: 105. Palla su foglio di carta

Messaggio da FedericoC. » 3 nov 2016, 18:21

Abbiamo che: e

Inoltre dove è il raggio della sfera

Quindi e sostituendo ,

Otteniamo

step98
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Re: 105. Palla su foglio di carta

Messaggio da step98 » 3 nov 2016, 19:40

Il ragionamento é quello, ma poiché il moto non avviene necessariamente lungo una retta i vettori cambiano anche direzione oltre che modulo, quindi lo stesso ragionamento andrebbe fatto con i vettori, così riusciresti a dimostrare che non solo i moduli ma anche le direzioni di velocità finale e iniziale sono uguali.

FedericoC.
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Re: 105. Palla su foglio di carta

Messaggio da FedericoC. » 3 nov 2016, 22:36

Effettivamente potevo essere più preciso :?

Provo a formalizzare meglio. Partiamo sempre da: e

Abbiamo e da cui

Svolgendo:

Integrando entrambi i membri si ottiene come prima:

Spero vada bene :D

guido
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Re: 105. Palla su foglio di carta

Messaggio da guido » 4 nov 2016, 19:16

Solo per curiosità a questo punto volevo sentire cosa pensi di questa soluzione. :roll:
La forza che si scambiano carta e palla nel punto di contatto che è fermo durante la rotazione è indubbiamente, qualunque essa sia e qualunque direzione abbia, una forza INTERNA al sistema carta-palla. Quindi non può essere capace di modificare la quantità di moto del baricentro del sistema rispetto al sistema fisso del tavolo. Prima dello strattone la quantità di moto del sistema rispetto al suolo è quella del baricentro della palla che ruota attorno al punto di contatto con velocità e quindi con quantità di moto ; la quantità di moto della carta è infatti nulla. Alla fine dei giochi, dopo lo (gli) strattone, la carta può considerarsi di nuovo ferma rispetto al tavolo e la quantità di moto del sistema che, al momento dell'uscita è quindi solo quello della palla, deve essere quella iniziale cioè ancora . Bisogna vedere poi se l'attrito con il tavolo è come quello con la carta permettendo subito il puro rotolamento attorno al punto di contatto oppure se bisogna attendere che abbia dissipato un pò d'energia slittando per poi rotolare di nuovo. :?:

step98
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Re: 105. Palla su foglio di carta

Messaggio da step98 » 5 nov 2016, 0:19

@guido: il problema dice di considerare anche il caso in cui la palla debba slittare un po' prima di iniziare nuovamente a rotolare, ma anche se non si fosse dovuto considerare questo caso, non credo che si sarebbe potuta applicare la conservazione della quantità di moto, perché ci sono anche la forza esterna con cui strattoniamo il foglio e la forza di attrito con il tavolo, e non sappiamo a priori che il loro impulso totale sul sistema carta-palla sia nullo; dal ragionamento di Federico sappiamo che alla fine la palla avrà la stessa velocità che aveva all'inizio e il foglio sarà fermo, quindi possiamo dedurre che l'impulso totale di queste forze sarà nullo, cioè l'impulso totale della forza esterna con cui strattoniamo il foglio sarà uguale ed opposto all'impulso totale della forza d'attrito del tavolo (per totale intendo integrato su tutto l'intervallo di tempo considerato). Ma questa è una conclusione a posteriori, e non è neanche valida in generale, perché il problema non dice che, quando la palla torna a muoversi di puro rotolamento, il foglio sarà fermo, ed effettivamente potrebbe essere ancora in moto con una decelerazione costante dovuta alla forza d'attrito con il tavolo: l'impulso totale delle due forze sarà nullo solo dopo che il foglio si sarà fermato per via di questa decelerazione. Comunque tutto questo ragionamento è a posteriori, perché a priori si sarebbe anche potuto pensare che l'impulso totale delle forze esterne fosse diverso da zero e dunque la palla avesse una velocità finale diversa da quella iniziale. Al momento questa spiegazione mi sembra corretta, ma fammi sapere cosa ne pensi perché non è escluso che ci siano errori di ragionamento.

@FedericoC.: dalle formule che hai scritto non riesco a capire se rappresenta il vettore posizione del centro di massa della palla rispetto ad un punto generico preso come origine o il vettore diretto dal CdM della palla al punto di contatto con il foglio. Nel primo caso il momento angolare è incompleto, perché dovrebbe essere , nel secondo caso dovrebbe essere . Ho escluso il caso in cui il momento angolare è calcolato rispetto al punto di contatto perchè non essendo puro rotolamento per tutta la durata del processo non si può dire che la palla stia istantaneamente ruotando rispetto ad un punto di contatto fermo. Inoltre l'equazione implica , invece dovrebbe essere . L'equazione che invece puoi e ti consiglio di usare è (che si dimostra facilmente calcolando i momenti rispetto al CdM della palla); ti consiglio, quindi, di ragionare in termini delle differenze (vettoriali) tra valore finale e iniziale delle varie quantità. (Questa, chiaramente, è l'interpretazione che ho dato io del tuo ragionamento, perciò correggimi se non ho capito qualcosa).

guido
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Re: 105. Palla su foglio di carta

Messaggio da guido » 5 nov 2016, 12:17

Certamente ci sono le forze che tu dici e che sono esterne. Ma io considero la forza di interazione fra palla e carta ed essa non riesce a modificare la quantità di moto del sistema per cui rispetto ad essa si conserva. Non si conserva invece rispetto alle forze esterne e la palla (che nota bene "vede" solo l'interazione con la carta nel punto di contatto e non quella della mano che strattona o quella di attrito con il tavolo) potrà assumere variazioni della sua qdm come farà la carta che trascina per attrito anche la palla stessa. Io poi avevo capito che alla fine dei giochi, quando cessa l'interazione, la mano dopo aver dato tutti gli strattoni che vuole tiene praticamente ferma la carta come faccio io nelle mie prove: la palla deve allora uscire con un vettore qdm uguale a quello iniziale magari in un'altra posizione del tavolo. :!:
Può avere già slittato e quando entra nel tavolo se slitta e/o rotola è determinato dall'attrito palla-tavolo.
Ti faccio osservare che qualcosa deve pur dire che questo ragionamento conduce al risultato giusto (certo, la condizione è necessaria ma non sufficiente....) :roll:

step98
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Re: 105. Palla su foglio di carta

Messaggio da step98 » 5 nov 2016, 15:48

È vero che la palla "vede" solo l'interazione con il foglio, ma il tuo ragionamento si fonda sulla conservazione della quantità di moto del sistema, che è soggetto anche a forze esterne; se ci fosse solo la forza tra palla e foglio la quantità di moto del sistema si conserverebbe perché la variazione di quantità di moto della palla sarebbe uguale ed opposta a quella del foglio, ma poiché ci sono anche forze esterne che agiscono sul foglio, la variazione di quantità di moto di quest'ultimo non sarà uguale ed opposta a quella della palla. Riguardo al fatto che il foglio sia tenuto fermo o meno alla fine dei giochi anch'io avevo inteso il problema come te all'inizio, ma questa assunzione non cambia il succo di quello che voglio dire: secondo me, il tuo ragionamento va applicato al contrario, dopo quello di Federico, e, sapendo che la palla uscirà con la stessa velocità che aveva all'inizio, permette di dimostrare che qualunque sia l'impulso totale che applico con la mano (e che posso variare a mio piacere), l'impulso totale della forza d'attrito con il tavolo, che agisce sia sul foglio che sulla palla dopo che è uscita dal foglio, sarà sempre uguale ed opposto (nota che parlo di impulso totale, non istantaneo; istantaneamente i due impulsi sono diversi).
guido ha scritto:Ti faccio osservare che qualcosa deve pur dire che questo ragionamento conduce al risultato giusto (certo, la condizione è necessaria ma non sufficiente....) :roll:
Mi sembra che l'unico modo per giustificare il tuo ragionamento e utilizzarlo per arrivare alla conclusione sia dire che il sistema è isolato, cioè che l'impulso risultante di tutte le forze esterne sia nullo, ed è quello che effettivamente succede, ma come fai a dirlo all'inizio, prima di aver dimostrato che la palla esce con la stessa velocità che aveva all'inizio? Hai scritto che la palla "vede" solo l'interazione con il foglio, e sono d'accordo, ma se parli di conservazione della quantità di moto del sistema, stai includendo anche quella del foglio, soggetto anche ad altre forze.

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