Carica su una sfera.
Carica su una sfera.
Una carica 
è posta al centro di una sfera conduttrice di raggio interno 
e raggio esterno 
(dove 
non è trascurabile) fatta con un materiale di resistività 
. Trovare la carica che si accumula sulla superficie interna della sfera in funzione del tempo.
"No, no, you're not thinking; you're just being logical. "
Re: Carica su una sfera.
Sia Q la carica sulla sfera più esterna e -Q quella sulla sfera interna.
Metodo sconcio:
Indovino che l'andamento sia esponenziale avendo visto come si comportano un'induttanza o un condensatore: allora la risposta è = q_0 (1-e^{\frac{-t}{\tau}}))
con tau un tempo da costruire con rho e epsilon0. 
ha le unità di un tempo, quindi quello sarà tau. I limiti per t-->0 e infinito funzionano. Spoiler: è la soluzione giusta.
Soluzione pulita:
Sia I la corrente (radiale ovviamente). Considera un elemento di volume della sfera di area dA e "spessore radiale" dr a distanza r dal centro: calcoli la resistenza, la corrente e la ddp in quel pezzetto e le metti in relazione secondo Ohm. resistenza dR= rho * dr/dA dalla definizione di resistività; dI = I/(4pi r^2) * dA facendo una proporzione e considerando la simmetria sferica della corrente; per la ddp ti serve prima
per ottenere  \frac{dr}{r^2})
. Nota che V è Vb + Vr con Vb il potenziale per arrivare da infinito a b, che è 
(chiedi se non ti torna). Vr con r fra a e b invece dipende dalla carica dentro r, cioè q-Q. Ponendo dI=dV/dR ottieni (si semplificano dr e dA e quasi tutto il resto) 
(in realtà rimane il segno - da dV, ma puoi cancellarlo se consideri che nella legge di Ohm si guarda ai moduli). Una integratita degli ultimi 2 membri separando le variabili ti da il risultato atteso.
Metodo sconcio:
Indovino che l'andamento sia esponenziale avendo visto come si comportano un'induttanza o un condensatore: allora la risposta è
Soluzione pulita:
Sia I la corrente (radiale ovviamente). Considera un elemento di volume della sfera di area dA e "spessore radiale" dr a distanza r dal centro: calcoli la resistenza, la corrente e la ddp in quel pezzetto e le metti in relazione secondo Ohm. resistenza dR= rho * dr/dA dalla definizione di resistività; dI = I/(4pi r^2) * dA facendo una proporzione e considerando la simmetria sferica della corrente; per la ddp ti serve prima
Re: Carica su una sfera.
Non è un po' strano che il risultato sia indipendente da a e b? 
Con un ragionamento simile ho ottenuto che=q_0 (1- e^{- \alpha t \over \rho \epsilon_0 }))
, dove ^2 \over ab})
.
Con un ragionamento simile ho ottenuto cheRe: Carica su una sfera.
A occhio direi che all'aumentare di , aumenta la resistenza, ma allo stesso tempo aumenta in modo uguale anche la differenza di potenziale che porta ad una maggiore corrente che attraversa una maggiore resistenza.. i due effetti si compensano, come puoi vedere meglio nei calcoli
"No, no, you're not thinking; you're just being logical. "
Re: Carica su una sfera.
Mi verrebbe da dire che il potenziale in funzione delle distanze radiali non ha lo stesso andamento della resistenza(proporzionalità diretta), quindi non si compensano e il risultato risulta dipendente da a e b . Comunque non disponi di un risultato?
Re: Carica su una sfera.
Attento.. la resistenza non ha proporzionalità diretta.
Il risultato giusto è
)
Il risultato giusto è
"No, no, you're not thinking; you're just being logical. "
Re: Carica su una sfera.
AleDonda fa un ragionamento che appare convincente e quindi spinge ad approfondire.
D'altra parte l'intensità di corrente riguarda per definizione la carica che passa nell'unità di tempo attraverso la sezione del conduttore (sup.sferica di raggio r) con i relativi dV e dR il cui rapporto in questo caso, non dipende da r e quindi nemmeno da a e b. Infatti
)/(4\pi.r^2\epsilon_0)].dr; dR=(\rho/4\pi.r^2).dr)
per cui
=dQ(t)/dt= [q-Q(t)]/(\rho.\epsilon_0))
da cui il risultato di Flaffo. Insomma il loro rapporto non dipende da r poichè ciascuno ne dipende allo stesso modo.
D'altra parte l'intensità di corrente riguarda per definizione la carica che passa nell'unità di tempo attraverso la sezione del conduttore (sup.sferica di raggio r) con i relativi dV e dR il cui rapporto in questo caso, non dipende da r e quindi nemmeno da a e b. Infatti
Re: Carica su una sfera.
Capito, grazie mille!