Mettiamo la direzione positiva dell'asse x da sinistra verso destra. La massa
arriva da sinistra, e l'urto avviene in
.
Indichiamo con
la massa urtata da
, e
quella all'altro capo della molla. Sia inoltre
la lunghezza della molla.
Partiamo con il considerare l'urto tra
e la massa
. Assumendo l'urto istantaneo si può trascurare la forza elastica durante esso, quindi nell'istante dopo l'urto le velocità saranno rispettivamente:
L'insieme delle masse
e
con la molla può essere considerato come un unico corpo che ha urtato con
, per tanto il centro di massa (che coincide con il centro della molla, siccome
) si muove ad una velocità pari a
Poniamo ora nel sistema di riferimento del cento di massa delle 2 masse
: esso è inerziale, dato che quest'ultimo si muove a velocità costante. Tutte le velocità si trasformano nel seguente modo
, quindi
Le masse si stanno muovendo simmetricamente rispetto al centro di massa, quindi entrambe seguiranno un moto armonico intorno le rispettive posizioni di equilibrio. Si vuole trovare ora l'ampiezza del moto: si osserva che nell'istante immediatamente successivo all'urto la molla è in posizione di riposo quindi l'energia potenziale elastica è nulla. Quando il moto è ad ampiezza massima è l'energia cinetica ad essere nulla, per tanto
^2)
Inoltre si trova che la pulsazione del moto armonico è
, perché quando una massa è spostata di
rispetto al punto di equilibrio la molla è compressa di
. Si può scrivere l'equazione del moto (
nell'istante dell'urto) di
nel sistema di riferimento del c.d.m.:
=A\cdot \cos{\left ( \omega t+ \dfrac{3 \pi}{2} \right ) }-\dfrac{l}{2})
dove la fase è inserita perché il moto parte dalla posizione di equilibrio e si avvicina al centro di massa. Il termine
è inserito perché la posizione di equilibrio di $m_1$ si trova a
, nel sistema di riferimento del cdm.
Torniamo nel sistema di riferimento esterno. L'equazione del moto del centro di massa è
=v_{cdm}t+\dfrac{l}{2})
dato che all'istante dell'urto il centro di massa si trova spostato di metà lunghezza della molla.
Deve essere inoltre
=x_{m_1}(t)-x_{cdm}(t))
da cui si trova l'equazione del moto della pallina in questo sistema di riferimento:
=x_{m_1}'(t)+x_{cdm}(t)=A\cdot \cos{\left ( \omega t+ \dfrac{3 \pi}{2} \right ) }-\dfrac{l}{2}+v_{cdm}t+\dfrac{l}{2})
sostituendo:
=\sqrt{\dfrac{m}{2k}}\dfrac{M}{M+m}v_0\cdot \cos{\left ( \sqrt{\dfrac{2k}{m}} t+ \dfrac{3 \pi}{2} \right ) }+\dfrac{M}{M+m}v_0t)
.
L'equazione del moto di
dopo l'urto è
=v_Mt=\dfrac{M-m}{M+m}v_0 t)
A questo punto ho le due equazioni del moto. Non avevo grandi idee su come trovare il minimo
, quindi ho sostituito i dati e su Geogebra ho disegnato il grafico delle due funzioni
 }+\dfrac{M}{M+2}x)
E facendo variare un po' il parametro
ho trovato che il valore minimo è
. Se qualcuno ha un metodo migliore per trovare il minimo lo condivida (sempre che tutto quello che sta prima è giusto
) perché questo che ho usato non è un granché.
, anche se l'ipotesi che avevi imposto per l'urto non era verificata. Infatti, se ho capito bene, tu dici che le 2 masse si urtano solamente se la distanza di 
