Palla di neve // urto, tristemente OWN

[RiccardoKelso]

Ciao ragazzi! Non scrivo quasi mai su questo forum ma oggi mi è venuto in mente un problema assolutamente banale ma che magari può incuriosire qualcuno alle prime armi. Spero abbiate voglia di provarci e di darmi un parere sincero su come lo avete trovato!

Un cilindro di neve di spessore d=1 m, raggio r=1 m e massa m=10 kg (noterete la fantasia nei dati) si trova inizialmente fermo sulla cima di un pendio, inclinato in modo tale da formare un angolo a=30° con l'orizzontale e che percorre h=100 m di dislivello, per poi finire in un piano. Il cilindro (nel modo più naturale che possiate immaginare) inizia a rotolare sotto l'azione della gravità senza strisciare grazie a una lieve spinta, e si comporta così: per ogni metro che percorre la sua massa viene incrementata di 1 kg, e supponiamo che venga in ogni istante distribuita in modo omogeneo e in modo da aumentare il raggio lasciando invariato lo spessore. Che velocità (angolare e "tangenziale") ha il disco quando entra in contatto con il piano?

[ruben96]

Ciao, propongo la mia soluzione.

In ogni posizione il cilindro ha una sua massa e un suo raggio . Le due equazioni che descrivono il moto del centro di massa del cilindro sono:




quindi . L'accelerazione del centro di massa è indipendente dalla massa del cilindro.

La lunghezza della pista è:

Quindi la velocità finale del centro di massa è:

La densità del cilindro è:

e quindi il raggio finale è dato da:

Per la condizione di rotolamento la velocità angolare alla fine della pista è:

[RiccardoKelso]

Il discorso iniziale è buono, ma posso dire con malcelata soddisfazione che il mio piccolo trabocchetto ha funzionato !!
Considera la geometria del cilindro a contatto contemporaneamente con il piano inclinato e il piano orizzontale (cioè il momento del distacco).. Il cilindro non entra a contatto con il 100% del piano inclinato!

[ruben96]

Scusa mi sono lasciato trascinare dall'entusiasmo. Il seguente ragionamento dovrebbe essere corretto.
Allora per la conservazione dell'energia ho:



Il momento di inerzia del cilindro alla fine del piano inclinato, rispetto a un asse passante per il centro di massa è:



il raggio finale è:

Mettendo insieme il tutto alla fine viene



e se non ho sbagliato i conti, viene

Se ho sbagliato dimmi pure la soluzione corretta, perché non ho ben capito il fatto del cilindro contemporaneamente sul piano inclianto e sull'orizzontale.

[RiccardoKelso]

Scusa l'attesa; nel secondo tentativo c'è un errore nell'equazione della conservazione dell'energia: il membro sinistro non corrisponde a tutta l'energia potenziale iniziale, in quanto devi includere anche quella posseduta dalla neve che si attaccherà al cilindro e la cui quota diminuirà di una quantità dipendente da dove si è attaccata e ha iniziato a scendere. Il primo tentativo era ottimo in quanto ti permetteva di non usare gli integrali (cosa che non eviti nel caso dell'analisi dal punto di vista energetico), mancava solo un pezzettino alla fine. Se hai voglia, ti consiglio di riprendere quella strada considerando però quello che dicevo: immagina una ruota scendere lungo un piano inclinato che a un certo punto diviene orizzontale con un cambiamento netto (appunto l'angolo). La ruota non entra in contatto con il vertice dell'angolo, bensì al momento giusto sarà in procinto di staccarsi dal piano inclinato e di iniziare a rotolare sul piano orizzontale, istante in cui è a contatto con entrambi. C'è solo da trovare "quanto piano inclinato" non viene percorso alla fine. Non ho controllato i discorsi sulla densità e sul raggio ma dovrebbero essere abbastanza semplici.

[wotzu]

sostituendo nell'ultima e risolvendo l'equazione di secondo grado si dovrebbe ottenere

tutta questa madonna di calcoli porta a un risultato praticamente identico infatti è trascurabile(l'idea è bella però dovresti diminuire il dislivello e aumentare il raggio del cilindro iniziale).
per trovare la velocità:

da qui si dovrebbe trovare la velocità finale, dove ho considerato l'energia potenziale media della massa aggiunta( se volessi essere proprio pignolo non è quella l'energia potenziale media ma ancora una volta dovrei considerare l'ultimo pezzo del piano inclinato che però ho ritenuto trascurabile)
Sono sicuro che qualche errore c'è quindi fammi sapere.

[wotzu]

ecco già mi sono accorto di aver sbagliato una cosa , nell'ultima equazione è

[RiccardoKelso]

Direi che i concetti ci sono tutti.. e aggiungo che hai perfettamente ragione, per far sì che quel puntiglio abbia "fisicamente" senso bisognerebbe cambiare i dati iniziali. Grazie per l'interesse