Preso dallo scritto di matematica dell'anno scorso della SSCCarmelo ha scritto: 2. I punti di un piano sono colorati in bianco o in nero, in modo vario. Dimostra che, indipendentemente da come sono colorati i punti, si può trovare un triangolo equilatero con i tre vertici dello stesso colore.
Domande Orali SNS
Re: Domande Orali SNS
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Dato che immagino possa interessare un po' di persone, resuscito questa discussione così che sia visibile a tutti e non solo a quelli che mi hanno chiesto personalmente come sono gli orali!
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
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Re: Domande Orali SNS
Per quanto riguarda , si può fare così.
Consideriamo una successione di polinomi tali che (polinomi di chebyshev).
Notiamo che . Inoltre, dal fatto che (prostaferesi):
si ha
che è una relazione di ricorrenza che ci permette di trovare, con qualche conticino:
le cui soluzioni corrispondono a quegli tali che ossia : . Non poniamo direttamente , altrimenti chi cacchio la sa risolvere? Dunque, risolvendo si trova
Visto che , abbiamo .
Prima per trovare avevamo trovato anche , da cui
Consideriamo una successione di polinomi tali che (polinomi di chebyshev).
Notiamo che . Inoltre, dal fatto che (prostaferesi):
si ha
che è una relazione di ricorrenza che ci permette di trovare, con qualche conticino:
le cui soluzioni corrispondono a quegli tali che ossia : . Non poniamo direttamente , altrimenti chi cacchio la sa risolvere? Dunque, risolvendo si trova
Visto che , abbiamo .
Prima per trovare avevamo trovato anche , da cui
Re: Domande Orali SNS
Per quanto riguarda invece il piano colorato di bianco e di nero, consideriamo un punto bianco e un esagono . Supponiamo per assurdo che non ci siano triangoli equilateri con vertici dello stesso colore.
Sicuramente contiene almeno un punto bianco, wlog , altrimenti ci sarebbe un triangolo nero. I punti sono invece di certo neri, altrimenti si formerebbe un triangolo equilatero con . Dunque deve essere bianco, altrimenti si formerebbe un triangolo nero . Finiamo di colorare notando che devono essere neri, altrimenti formerebbero un triangolo con .
Consideriamo il punto diverso da che forma un triangolo equilatero con . Se fosse nero, allora sarebbe un triangolo eq. nero. Se fosse bianco, allora sarebbe un triangolo eq. bianco, assurdo. Perciò esiste un triangolo equilatero con vertici dello stesso colore.
Sicuramente contiene almeno un punto bianco, wlog , altrimenti ci sarebbe un triangolo nero. I punti sono invece di certo neri, altrimenti si formerebbe un triangolo equilatero con . Dunque deve essere bianco, altrimenti si formerebbe un triangolo nero . Finiamo di colorare notando che devono essere neri, altrimenti formerebbero un triangolo con .
Consideriamo il punto diverso da che forma un triangolo equilatero con . Se fosse nero, allora sarebbe un triangolo eq. nero. Se fosse bianco, allora sarebbe un triangolo eq. bianco, assurdo. Perciò esiste un triangolo equilatero con vertici dello stesso colore.