Lunghezza del segmento più corto

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Pigkappa
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Lunghezza del segmento più corto

Messaggio da Pigkappa » 23 ott 2015, 19:31

Scelgo casualmente due punti su un segmento di lunghezza 1 (estraendoli da distribuzioni uniformi su [0,1]). In questo modo, il segmento e' diviso in tre parti. Qual e' il valor medio della lunghezza della parte più corta?

(lo so che non e' fisica; lo so che sembra roba avanzata; ma sono convinto esista una soluzione elementare e non riesco a trovarla :oops: )
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AlbertoLiverani
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Re: Lunghezza del segmento più corto

Messaggio da AlbertoLiverani » 28 ott 2015, 20:27

ciao, scusami ma al momento non ho tempo per cercare la soluzione alla domanda che hai fatto tu perché ho un sacco da studiare per domani... e in ogni caso non penso che riuscirei a trovarla... però leggendo mi è venuto in mente un problema simile che effettivamente aveva una soluzione molto più semplice sfruttando un'interessante analogia geometrica.
considera un triangolo equilatero. se scegli un punto al suo interno, la somma delle "altezze" condotte da quel punto su ogni lato è costante (nello specifico, è sempre uguale al lato). questo significa che se prendi un triangolo equilatero di lato 1, otterrai che ogni punto rappresenta una possibile combinazione di tre segmenti la cui somma sia 1, ovvero ogni punto all'interno del triangolo rappresenta un possibile modo di scegliere i due punti sul tuo segmento.
questa è l'idea che semplificava la soluzione di un problema simile, ora non so se possa effettivamente aiutarti o meno nel tuo... se si, fammi sapere!
p.s. sempre che tu non abbia già risolto, visto che il post è di qualche giorno fa... nel caso, potresti postare la soluzione per favore? grazie!

Pigkappa
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Re: Lunghezza del segmento più corto

Messaggio da Pigkappa » 29 ott 2015, 22:48

AlbertoLiverani ha scritto:p.s. sempre che tu non abbia già risolto, visto che il post è di qualche giorno fa... nel caso, potresti postare la soluzione per favore? grazie!
Sono molto impegnato per qualche giorno ma prometto che prima o poi lo faccio :)
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Re: Lunghezza del segmento più corto

Messaggio da Pigkappa » 7 nov 2015, 1:36

Chiedo scusa per aver postato questo problema nel caso vi abbia fatto perdere tempo - a quanto pare una soluzione molto semplice non c'e'. Per chi e' interessato a una un po' integrosa, vi rimando al forum delle olimpiadi di matematica: http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f= ... 57#p162478
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drago
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Re: Lunghezza del segmento più corto

Messaggio da drago » 8 nov 2015, 16:22

in verità una soluzione semplice esiste;
come suggerisce alberto liberani, si prende un triangolo equilatero con altezza pari a (infatti la somma dei tre lati è pari all' altezza del triangolo e non al lato) e si divide in tre triangoli simili attraverso il baricentro G', se si prende il punto in un triangolo la distanza rispetto al lato associato è la minore quindi la media del segento più corto è la distanza del baricentro G del triangolo piccolo rispetto al lato associato;questa distanza è pari a perchè la distanza di G' dal lato è pari a un terzo per il teorema delle mediane e la distanza di G dal lato è pari a della distanza di G' dal lato per lo stesso teorema.

per punti basta prendere un tetraedro dimensionale e sapendo che la mediana di un tetraedro dimensionaleviene divisa in due segmenti pari a e si dimostra facilmente che la formula generale per la media è pari a

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Re: Lunghezza del segmento più corto

Messaggio da wotzu » 25 mag 2016, 19:26

perchè non si può fare lo stesso ragionamento con un poligono n-regolare , viene un risultato evidentemente sbagliato ma non capisco quale sia l'errore nel prendere un poligono n-regolare al posto di un tetraedro n dimensionale
Se Dio esiste, è un grande matematico.(Paul Dirac)

drago
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Re: Lunghezza del segmento più corto

Messaggio da drago » 26 mag 2016, 0:03

se modellizi il problema a tre punti con un quadrato, dato chè la somma dei lati opposti è costante, sai già a priori che dopo che hai messo giù i tre punti ci sono due coppie di segmenti che hanno lunghezza totale 0.5 cosa che nel problema originale non è vera, perchè a priori posso avere un segmento di 0.7 e gli altri tre da 0.1 (situazione che non si può descrivere con un quadrato), con le altre figure piane riesci a fare ragionamenti simili; poi ci sono anche motivazioni più complicate che dimostrano che l'unica scelta possibile sono i tetraedri.

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