Teorema di Bernoulli

Messaggio da **Pigkappa** » 8 mag 2014, 3:18

1)Cosa dice il teorema di Bernoulli? Se sapete dimostrarlo, in una sua qualche forma, fatelo.
2)Si può applicare o generalizzare a un fluido che sia comprimibile, come un gas?

Messaggio da **OrsoBruno96** » 12 mag 2014, 21:31

Partiamo dalla 2° legge della dinamica $\vec F = m \vec a$

mi esprimerò in termini rozzi ma spero di essere comprensibile.
deriviamo rispetto al volume a sinistra e a destra e otteniamo $\dfrac {d \vec F}{dV} = \rho \dfrac {d \vec v}{dt}$

adesso, le forze agenti su una massa dm sono il peso e le forze di pressione. per quanto riguarda il peso, $d \vec F = dm \vec g$

la forza di pressione è $\vec F = - \oint _{\partial V} p d \vec A = - \int _V \nabla p dV$

quindi $\dfrac {d \vec F}{dV} = \rho \vec g - \nabla p$
sostituendo nella prima equazione, $\rho \dfrac {d \vec v}{dt} - \rho \vec g + \nabla p = 0$

moltiplico scalarmente per dz, passo agli scalari prendendo un riferimento con asse z verso l'alto e ottengo $\rho \dfrac {dv}{dt} dz + \rho g dz + p dz = 0$

ma $\dfrac {dv}{dt} dz = dv \dfrac {dz}{dt} = v dv$
quindi $\rho vdv+ \rho g dz+ \nabla p*dz=0$
integro e ottengo $\dfrac{1}{2} \rho v^2+\rho g z + p = costante$ che è il teorema di Bernoulli

a scuola mi hanno detto che funziona solo per fluidi incomprimibili ma in realtà in questa dimostrazione mi sembra di non aver fatto assunzioni a riguardo perchè non ho sfruttato il fatto che $\nabla "prodotto scalare" \vec v = 0$

visto che mi fido del mio prof, in quale passaggio ho inconsapevolmente detto che è incomprimibile?

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 12 mag 2014, 22:12

l'idea di base potrebbe essere anche giusta ma su questo lascerei il giudizio a pigkappa.
però posso dirti che hai fatto dei passaggi matematici assurdi!!!!!!! ma ti sei accorto che gran parte delle equazioni che ti sei trovato sono dimensionalmente scorrette!!! e questo è uscito fuori da passagi sbagliati! per esempio $div p dz=p dz$ non so come ti sia venuto in mente!
e allo stesso modo se integri $p dz$ fa $pz$ non $p$ !!!!!! e questo sempre ipotizzando che $p$ non abbia dipendenza da $z$ cosa che non mi sembra ipotizzabile a priori, infatti il teorema affronta una situazione generale in cui la pressione puo variare da punto a punto.
alla fine la tesi ti è venuta perchè in un certo senso è come se "ti fossi aggiustato un po le cose" hai fatto errori e controerrori.
ma ti ripeto il mio è un commento in attesa del giudizio di pigkappa...

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 12 mag 2014, 22:18

e mi sono dimenticato di citare il passaggio che mi è parso più assurdo!!
$dv/dt dz = dv dz dt = vdv$ che oltre a non avere senso è anche sbagliato dimensionalmente ( la prima con la seconda quantità e la seconda con la terza che magicamente assume le stesse dimensioni della prima!!!!!

)

Messaggio da **OrsoBruno96** » 12 mag 2014, 22:30

Mi sono accorto grazie al tuo commento che il LaTeX mi ha fregato.
Correggo adesso senza perché sono da telefono
Quel dv/ dt * dz diventa dv * dz/dt quindi v dv
E per quel p dz che diventa p, devo aver dimenticato un nabla davanti. Chiedo scusa del problema tecnico e correggo appena accendo il pc

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 12 mag 2014, 22:35

in effetti avevo pensato che doveva essere qualche errore di scrittura! da come hai detto non ho capito se ti sei accorto di tutti gli errori quindi se puoi riscrivi la dimostrazione magari anche spiegando qualcosa in più soprattutto all inizio perchè l'impostazione che volevi dare penso di averla ricostruita poi dai primi calcoli perchè non è che ci sia una grossa giustificazione al procedimento che imposti ( non che sia sbagliato è!!!) però se aggiungi qualche ipotesi iniziale penso sia tutto più chiaro

Messaggio da **OrsoBruno96** » 12 mag 2014, 22:52

Sul fluido agiscono delle forze. Visto che è complicato scegliere un volume particolare da studiare, ho preferito lavorare sempre per unità di volume.
Quindi, supponiamo che di avere un volume di fluido V che contiene una massa m. Su di esso agisce il peso e la pressione del fluido circostante
La forza peso vale mg
Le forze di pressione valgono - l'integrale di pressione per dA
L'accelerazione del volume di fluido è determinata dalla seconda legge della dinamica F=ma
Adesso, se io faccio tendere a 0 questo volume, posso passare da massa a densità ed è per questo che ho preferito usare quelle formule matematiche complicate

Comunque, ho trovato il punto in cui ho assunto che la densità sia costante: quando ho integrato l'ultima equazione. Se la densità non è uniforme non posso integrare in quel modo.

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 13 mag 2014, 0:28

poi ho avuto anch io una svista scusa! ho scritto $div P$ mentre era $grad P$

Messaggio da **Pigkappa** » 13 mag 2014, 3:48

Hai assunto che $\vec g$ , $\vec \nabla P$ siano paralleli a $\hat z$ , che in generale non è vero, e questo ti semplifica significativamente la dimostrazione.

Il passaggio $\frac{dv}{dt} dz = dv \frac{dz}{dt} = v dv$ non ha in realtà grande fondamento e ti conduce in modo molto, molto fortunoso al risultato giusto

. $dz$ qua è semplicemente un tratto di lunghezza e non è legato a $dt$ da nessuna relazione... Non mi aspettavo che qualcuno cercasse di fare la dimostrazione con l'analisi differenziale a livello locale, ma semplicemente tiraste fuori quella con gli integrali che è sull'Halliday. Scrivo qua qualche dettaglio sui passaggi per la soluzione con l'analisi differenziale per chi sapesse qualcosa a riguardo, ma vi invito a provare a farla con gli integrali in un caso semplice ma in cui si evidenzia bene dove usate le ipotesi di incomprimibilità e stazionarietà (stazionario = che non cambia al variare del tempo). Per quanto riguarda l'incomprimibilità, avete ragione sul fatto che la dimostrazione non è immediatamente estendibile al caso comprimibile. In generale, se il fluido è comprimibile, il teorema non è vero; ci sono però alcuni casi particolari in cui vale lo stesso, ma magari ci arriveremo se postate una dimostrazione del teorema che mi convince

.

Se vuoi usare l'analisi differenziale, devi fare attenzione al fatto che l'equazione del moto è $\rho (\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \vec v \cdot \vec \nabla \vec v) = - \vec \nabla P + \rho \vec g$ ; a te manca praticamente il pezzo $(\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v$ . Provo a cercare di farti capire da dove viene questo pezzo così: immagina un liquido in rotazione come un corpo rigido, e consideriamo un elementino di massa nel fluido che ruota, e scriviamo $\vec F = m \vec a$ . Alla fine $\vec F$ si riconduce a forze come quella dovuta alla pressione $\vec \nabla P$ o altre; preoccupiamoci qua di $\vec a = \frac{d \vec v}{dt}$ . Tu sai bene che un corpo in rotazione attorno a un asse ha una accelerazione $- \frac{v^2}{R} \hat R$ dove $R$ è il raggio; quindi deve essere $\vec a = - \frac{v^2}{R} \hat R$ . Perciò il termine a destra in $\vec F = m \vec a$ non è detto che sia 0 se la situazione non dipende dal tempo. Questo viene rappresentato dal termine $(\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v$ nell'equazione.

Per tirarlo fuori formalmente, per quelli che sanno le derivate parziali, possiamo scrivere che è:
$\vec F = m \frac{d \vec v(t, x, y, z)}{dt} = m (\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \frac{\partial \vec v}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial \vec v}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial \vec v}{\partial z} \frac{dz}{dt}) = m (\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \frac{\partial \vec v}{\partial x} v_x + \frac{\partial \vec v}{\partial y} v_y + \frac{\partial \vec v}{\partial z} v_z) = m (\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \vec v \cdot \vec \nabla \vec v)$

Si usa poi un'identità vettoriale per trasformare $\vec v \cdot \vec \nabla v$ in $\vec \nabla (v^2)$ , si deve usare l'ipotesi $\vec \nabla \cdot \vec v = 0$ di incomprimibilità per far sparire un fastidioso termine aggiuntivo, si deve usare l'ipotesi di caso stazionario $\frac{\partial \vec v}{\partial t} = 0$ , e alla fine si dimostra che $\vec \nabla (\frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \phi + P)$ è perpendicolare a $\vec v$ e quindi che $\frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \phi + P$ è fissato se ci si muove lungo una linea di flusso. Ma i conti sono insidiosi, richiedono di passare dal rotore della velocità (il rotore è il prodotto vettoriale con $\vec \nabla$ , invece del prodotto scalare), e non penso valga la pena vi ci mettiate a farli a meno di non avere uno strano interesse per la fluidodinamica.

Messaggio da **OrsoBruno96** » 13 mag 2014, 15:39

http://www.wired.it/scienza/lab/2014/02 ... soluzione/

la notizia è vecchia e visto che non si è sentito niente ai telegiornali, probabilmente la soluzione non era corretta oppure non hanno ancora finito di controllarle, ma visto che il fisico che ha pubblicato l'articolo originale è kazako e quest'anno le IPhO sono ad Astana, magari è bene studiare con attenzione tutta la fluidodinamica

provo a ricominciare: $\rho (\dfrac{\partial \vec v}{\partial t} + \vec v \cdot \vec \nabla \vec v) = - \vec \nabla p + \rho \vec g$ è l'equazione del moto

adesso, come mi hai detto, devo imporre il caso stazionario, quindi $\dfrac{\partial \vec v}{\partial t} = 0$

inoltre, immagino da quello che hai scritto che sia furbo sostituire a g il suo potenziale scalare $\vec g = - \nabla \phi$

adesso abbiamo $\rho \vec v \cdot \vec \nabla \vec v + \nabla p +\nabla \rho \phi = 0$

qui sorgono i problemi. sono piuttosto ignorante in calcolo vettoriale quindi abbi pazienza.

tu sei passato da $\dfrac{\partial \vec v}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial \vec v}{\partial y} \dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial \vec v}{\partial z} \dfrac{dz}{dt}$ a $\vec v \cdot \vec \nabla \vec v$

e mi è sorto un dubbio. se io faccio $(\vec v \cdot \vec \nabla) \vec v$ mi sembra diverso da $\vec v \cdot (\vec \nabla \vec v)$

mi stai dicendo che ho a che fare con una dannatissima forma diadica?

se si, come si trasformano i vari teoremi di calcolo vettoriale?

per esempio, ho cercato su wikipedia delle identità vettoriali utili e penso che questa sia la più vicina a quello che ci serve, ma non so se posso usarla per il motivo che ti ho spiegato: $\dfrac{1}{2}\nabla (v^2)= \nabla \times (\nabla \times \vec v) + (\vec v \cdot \nabla) \vec v$

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