Metodo dei minimi quadrati

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Eagle

Metodo dei minimi quadrati

Messaggio da Eagle » 2 mar 2011, 22:41

Qualcuno può gentilmente illustrare in cosa consiste matematicamente il metodo dei minimi quadrati? Quando si può utilizzare?
Grazie, in anticipo.

Pigkappa
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Re: Metodo dei minimi quadrati

Messaggio da Pigkappa » 3 mar 2011, 2:08

Supponi di avere coppie di dati e di voler cercare la miglior retta per fittare questi dati.

Definiamo:



Cerca di capire graficamente cosa è C; è la somma dei quadrati delle lunghezze in verde:

Immagine

Il metodo dei minimi quadrati consiste nel calcolare i migliori A e B minimizzando .

Per calcolare e esplicitamente, si impone che , ma probabilmente non sai cosa vuol dire. Quando in una prova sperimentale delle olimpiadi devi trovare la miglior retta con e entrambi non nulli, conviene che lo fai per via grafica, disegnando i punti e trovando ad occhio la retta migliore.

Se sai già che è zero, e quindi la retta passa per l'origine, la funzione è una parabola; quindi il minimo è nel vertice e lo sai calcolare.
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Eagle

Re: Metodo dei minimi quadrati

Messaggio da Eagle » 3 mar 2011, 18:14

Allora, vediamo un po' cosa ho capito.



è la differenza tra il valore teorico, che esce fuori dalla miglior retta, e il valore reale, che ho trovato nell'esperimento: diciamo, quindi, uno scarto quadratico.

Essendo lo scopo dei minimi quadrati calcolare i migliori e minimizzando , si fanno le derivate parziali di rispetto e poi di rispetto a , uguagliandole a 0.

C'ho messo un po' a capire quello che hai scritto (e non so se ho capito tutto :mrgreen: ), comunque derivare e uguagliare a 0 ti permette di trovare dove la funzione ha un minimo (es. vertice della parabola).

Poiché consideri nell'equazione della retta due incognite, il coefficiente angolare e l'intercetta, derivi prima rispetto a (considerando costante ) e poi rispetto a (considerando costante ), uguagliando a 0, in modo da trovarti gli e migliori. Non so se è giusto, comunque correggimi se ho scritto eresie.

fisicorel
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Re: Metodo dei minimi quadrati

Messaggio da fisicorel » 3 mar 2011, 20:21

Pigkappa ha scritto:Quando in una prova sperimentale delle olimpiadi devi trovare la miglior retta con e entrambi non nulli, conviene che lo fai per via grafica, disegnando i punti e trovando ad occhio la retta migliore.
Di solito alcune calcolatrici con funzioni statistiche una volta inseriti e danno i coefficienti e .Scrivere sulla relazione della prova sperimentale che la retta migliore l'ho trovata con la calcolatrice senza fare il grafico(che occupa tanto tempo)è grave e da evitare?

Pigkappa
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Re: Metodo dei minimi quadrati

Messaggio da Pigkappa » 4 mar 2011, 0:46

fisicorel ha scritto:Di solito alcune calcolatrici con funzioni statistiche una volta inseriti e danno i coefficienti e .Scrivere sulla relazione della prova sperimentale che la retta migliore l'ho trovata con la calcolatrice senza fare il grafico(che occupa tanto tempo)è grave e da evitare?
Penso che vada bene; in una soluzione lo facevano anche loro, mi pare, e non ci vedo nulla di male. E' un metodo furbo per risparmiare tempo e conviene imparare a fare un po' di queste cose con la calcolatrice.
Eagle ha scritto:Essendo lo scopo dei minimi quadrati calcolare i migliori e minimizzando , si fanno le derivate parziali di rispetto e poi di rispetto a , uguagliandole a 0.

C'ho messo un po' a capire quello che hai scritto (e non so se ho capito tutto :mrgreen: ), comunque derivare e uguagliare a 0 ti permette di trovare dove la funzione ha un minimo (es. vertice della parabola).
E' giusto, però non pensare che la cosa si possa generalizzare troppo facilmente e che il massimo o minimo di qualunque funzione in 2 (o più) variabili definita su qualunque insieme si trovi imponendo che le derivate parziali si annullino. Mentre per funzioni di una variabile questa cosa funziona abbastanza bene (almeno finchè la funzione è derivabile e il dominio è un intervallo e ci si ricorda di controllare cosa fa la funzione nei due punti all'estremo dell'intervallo), con più di una variabile la situazione è un po' più delicata (perchè i punti "all'estremo dell'intervallo" non sono 2 ma sono infiniti).
Se vuoi scoprire i dettagli cerca i moltiplicatori di Lagrange...
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Eagle

Re: Metodo dei minimi quadrati

Messaggio da Eagle » 5 mar 2011, 15:11

Grazie mille, Pigkappa. Comunque ho leggiucchiato qualcosa sui moltiplicatori di Lagrange, ma penso che sia ancora presto ( :mrgreen: )

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