Qualcuno può gentilmente illustrare in cosa consiste matematicamente il metodo dei minimi quadrati? Quando si può utilizzare?
Grazie, in anticipo.
Metodo dei minimi quadrati
Re: Metodo dei minimi quadrati
Supponi di avere
coppie di dati
e di voler cercare la miglior retta
per fittare questi dati.
Definiamo:
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?\displaystyle C(A,B) = \sum_{i=1}^N{(y(x_i) - y_i)^2} = \sum_{i=1}^N{(Ax_i +B - y_i)^2})
Cerca di capire graficamente cosa è C; è la somma dei quadrati delle lunghezze in verde:
![Immagine](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Linear_least_squares_example2.png/220px-Linear_least_squares_example2.png)
Il metodo dei minimi quadrati consiste nel calcolare i migliori A e B minimizzando
.
Per calcolare
e
esplicitamente, si impone che
, ma probabilmente non sai cosa vuol dire. Quando in una prova sperimentale delle olimpiadi devi trovare la miglior retta con
e
entrambi non nulli, conviene che lo fai per via grafica, disegnando i punti e trovando ad occhio la retta migliore.
Se sai già che
è zero, e quindi la retta passa per l'origine, la funzione
è una parabola; quindi il minimo è nel vertice e lo sai calcolare.
Definiamo:
Cerca di capire graficamente cosa è C; è la somma dei quadrati delle lunghezze in verde:
![Immagine](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Linear_least_squares_example2.png/220px-Linear_least_squares_example2.png)
Il metodo dei minimi quadrati consiste nel calcolare i migliori A e B minimizzando
Per calcolare
Se sai già che
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
Re: Metodo dei minimi quadrati
Allora, vediamo un po' cosa ho capito.
![](http://latex.codecogs.com/png.latex?C(A,B)=(y(x_i)-y_i)^2)
è la differenza tra il valore teorico, che esce fuori dalla miglior retta, e il valore reale, che ho trovato nell'esperimento: diciamo, quindi, uno scarto quadratico.
Essendo lo scopo dei minimi quadrati calcolare i migliori
e
minimizzando
, si fanno le derivate parziali di
rispetto
e poi di
rispetto a
, uguagliandole a 0.
C'ho messo un po' a capire quello che hai scritto (e non so se ho capito tutto
), comunque derivare e uguagliare a 0 ti permette di trovare dove la funzione ha un minimo (es. vertice della parabola).
Poiché consideri nell'equazione della retta due incognite,
il coefficiente angolare e
l'intercetta, derivi
prima rispetto a
(considerando costante
) e poi rispetto a
(considerando costante
), uguagliando a 0, in modo da trovarti gli
e
migliori. Non so se è giusto, comunque correggimi se ho scritto eresie.
è la differenza tra il valore teorico, che esce fuori dalla miglior retta, e il valore reale, che ho trovato nell'esperimento: diciamo, quindi, uno scarto quadratico.
Essendo lo scopo dei minimi quadrati calcolare i migliori
C'ho messo un po' a capire quello che hai scritto (e non so se ho capito tutto
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Poiché consideri nell'equazione della retta due incognite,
Re: Metodo dei minimi quadrati
Di solito alcune calcolatrici con funzioni statistiche una volta inseritiPigkappa ha scritto:Quando in una prova sperimentale delle olimpiadi devi trovare la miglior retta cone
entrambi non nulli, conviene che lo fai per via grafica, disegnando i punti e trovando ad occhio la retta migliore.
Re: Metodo dei minimi quadrati
Penso che vada bene; in una soluzione lo facevano anche loro, mi pare, e non ci vedo nulla di male. E' un metodo furbo per risparmiare tempo e conviene imparare a fare un po' di queste cose con la calcolatrice.fisicorel ha scritto:Di solito alcune calcolatrici con funzioni statistiche una volta inseritie
danno i coefficienti
e
.Scrivere sulla relazione della prova sperimentale che la retta migliore l'ho trovata con la calcolatrice senza fare il grafico(che occupa tanto tempo)è grave e da evitare?
E' giusto, però non pensare che la cosa si possa generalizzare troppo facilmente e che il massimo o minimo di qualunque funzione in 2 (o più) variabili definita su qualunque insieme si trovi imponendo che le derivate parziali si annullino. Mentre per funzioni di una variabile questa cosa funziona abbastanza bene (almeno finchè la funzione è derivabile e il dominio è un intervallo e ci si ricorda di controllare cosa fa la funzione nei due punti all'estremo dell'intervallo), con più di una variabile la situazione è un po' più delicata (perchè i punti "all'estremo dell'intervallo" non sono 2 ma sono infiniti).Eagle ha scritto:Essendo lo scopo dei minimi quadrati calcolare i migliorie
minimizzando
, si fanno le derivate parziali di
rispetto
e poi di
rispetto a
, uguagliandole a 0.
C'ho messo un po' a capire quello che hai scritto (e non so se ho capito tutto), comunque derivare e uguagliare a 0 ti permette di trovare dove la funzione ha un minimo (es. vertice della parabola).
Se vuoi scoprire i dettagli cerca i moltiplicatori di Lagrange...
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)
Re: Metodo dei minimi quadrati
Grazie mille, Pigkappa. Comunque ho leggiucchiato qualcosa sui moltiplicatori di Lagrange, ma penso che sia ancora presto (
)
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