Media ed equazione delle retta

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Gia91
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Media ed equazione delle retta

Messaggio da Gia91 » 27 dic 2009, 21:14

Ciao a tutti
in riferimento alla verifica sperimentale delle due leggi di Ohm, avendo misurato in laboratorio le correnti che attraversano un filo di costantana, di lunghezza nota, al variare della d.d.p, mi ritrovo a realizzare dei grafici per rappresentare l'andamento delle due grandezze e verificarne la diretta proporzionalità.
Mi chiedo quale sia la differenza tra il valore che ottengo facendo la media aritmetica delle resistenze calcolate e il valore che excel mi da come coefficiente angolare della linea di tendenza lineare che ho inserito nel grafico. (è un best fit quello che fa l'excel con la linea di tendenza lineare?)

pascal
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Re: Media ed equazione delle retta

Messaggio da pascal » 29 dic 2009, 12:22

La retta dei minimi quadrati contiene

,



in cui i simboli sopra segnati indicano le medie aritmetiche. La linea di tendenza di excel usa proprio la suddetta procedura, come facilmente verificabile con degli esempi. Se forziamo la retta a passare per l’origine, imponendo l’annullamento dell’intercetta, l’equazione diventa del tipo con

.

Anche questo coefficiente è fornito da excel.
Il valore medio dei rapporti



è diverso sia da m che da k. Risulta semplice provare che le differenze svaniscono quando i rapporti sono esattamente costanti. Con excel sono rappresentabili anche le incertezze di misura in scala, ma il software non ne tiene conto nel calcolo dei coefficienti.

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Rigel
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Re: Media ed equazione delle retta

Messaggio da Rigel » 29 dic 2009, 14:32

Se tu calcoli potresti trovarti con un errore in più perchè potrebbe esserci stato durante l'esperimento un potenziale residuo dovuto a un non perfetto azzeramento. in questo caso la relazione tra V e I sarebbe

e quindi non puoi applicare la formula di sopra. di solito è trascurabile ma per maggior precisione è molto meglio usare il metodo dei minimi quadrati con excel o calcolare graficamente il coefficiente angolare

Gia91
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Re: Media ed equazione delle retta

Messaggio da Gia91 » 29 dic 2009, 21:04

Quindi se io volessi fare il lavoro più preciso possibile, non impongo l'intercetta a 0, in modo da ottenere il potenziale residuo (k), (che dovrebbe essere più o meno sempre lo stesso alle diverse lunghezze del filo di costantana no? dipende dagli strumenti?). Non imponendo l'intercetta, il coefficiente angolare di quella retta dovrebbe rappresentare la resistenza effettiva del filo o c'è qualcosa di sbagliato nel ragionamento?
Se poi devo procedere nella rappresentazione della diretta proporzionalità tra la resistenza e la lunghezza (II legge di Ohm), come resistenza devo prendere le medie aritmetiche ad ogni lunghezza o i vari coefficienti angolari delle rette?

grazie per la pazienza e la disponibilità.. :D

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Rigel
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Re: Media ed equazione delle retta

Messaggio da Rigel » 30 dic 2009, 17:22

da quello che ho capito per ogni resistenza con diversa lunghezza avete misurato l'intensità di corrente al variare della d.d.p e con un grafico dovete ricavare la resistenza (questo per la I legge di Ohm). poi per la II legge di Ohm dovete fare un grafico resistenza-lunghezza. è così?
in questo caso non è detto che il potenziale residuo sia indipendente dalla lunghezza del filo e non è detto che non cambi cambiando i resistori. comunque a te basta che durante le misure sullo stesso resistore il potenziale residuo non cambia e quindi puoi trovare facilmente la resistenza

Gia91
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Re: Media ed equazione delle retta

Messaggio da Gia91 » 31 dic 2009, 0:49

Rigel ha scritto:da quello che ho capito per ogni resistenza con diversa lunghezza avete misurato l'intensità di corrente al variare della d.d.p e con un grafico dovete ricavare la resistenza (questo per la I legge di Ohm). poi per la II legge di Ohm dovete fare un grafico resistenza-lunghezza. è così?
Esatto devo fare questo... ma per la II legge come resistenze prendo le medie aritmetiche fatte ad ogni lunghezza o i coefficienti angolari della rette ad ogni lunghezza (senza intercetta a 0)? Qual è il modo più giusto di procedere?

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Rigel
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Re: Media ed equazione delle retta

Messaggio da Rigel » 31 dic 2009, 16:40

Il modo più giusto è quello di usare i coefficienti angolari delle rette, senza porre l'intercetta a 0. questo metodo è valido in generale anche se poi devi usare la resistenza in un altro grafico

Gia91
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Re: Media ed equazione delle retta

Messaggio da Gia91 » 1 gen 2010, 23:26

Ok... grazie per l'aiuto e la gentilezza! :D

pascal
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Re: Media ed equazione delle retta

Messaggio da pascal » 3 gen 2010, 17:21

Non volevo intervenire sul terreno minato degli errori di misura, dove sono presenti molte interpretazioni autonome, ma la tentazione è stata più forte di me.
Innanzitutto devo dire che condivido, come intrinsecamente espresso nel mio precedente post, la propensione di Rigel per la scelta della linearità anche in attesa della proporzionalità. Ma la mia posizione è meno drastica e più graduale. E’ vero che un errore sistematico uguale trasla la retta senza mutarne la pendenza, ma non sempre esso è costante. Addirittura può essere proporzionale alla variabile indipendente (taratura con costante diversa da quella vera, dilatazione termica di un dinamometro, ecc.) e comportare una modifica della pendenza. Quindi non sempre la pendenza della linearità esclude automaticamente gli errori sistematici.
In adeguati contesti si potrebbero calcolare gli errori di misura di m e p dell’equazione y=mx+p e verificare se l’intervallo di p contiene lo zero, in modo che la proporzionalità aspettata sia compatibile con la linearità. C’è chi suggerisce di ricavare x=y/m-p/m ed eseguire un fit con y indipendente; riportando i nuovi coefficienti ai vecchi si riscontrano delle diversità; si propone di mediare aritmeticamente i due valori per m e p. L’applicazione del fit lineare si complica ulteriormente se le misure hanno errori diversi e ancor di più se gli errori relativi di x ed y sono dello stesso ordine di grandezza.
Ma come si procede nella didattica della scuola media superiore in caso di proporzionalità? Nei testi e nei laboratori degli ambiti a me noti:
- si eseguono i rapporti e se ne ricava una media;
- si effettuano i rapporti, si calcolano gli errori di misura, si determina la media aritmetica;
- raramente si applicano procedure di media pesata dei rapporti e degli errori;
- si scelgono le scale, si rappresentano i punti con gli errori, si tracciano le rette di minima e massima pendenza che passano per l’origine e per gli errori, si individua la retta di pendenza media e l’errore della pendenza. Mi risulta che questo metodo è tra i più usati;
- qualche volta si applica il fit lineare e si estrae la pendenza.
Dunque il fit della proporzionalità, ottenuto con i minimi quadrati, è un modo più raffinato di tracciare la miglior retta per l’origine. Non mi sentirei di escludere completamente questo sentiero, quando il primo approccio di esplorazione della proporzionalità è la verifica dell’allineamento dei punti con l’origine. Per la legge di Ohm, controllando gli zeri strumentali (l’intensità di corrente nulla deve comportare anche una tensione zero) si abbatte l’errore sistematico di azzeramento. Sì, il fit y=mx+p è più potente, ma per manifestare completamente la sua valenza dovrebbe essere applicato nella sua generalità. Poi si dovrebbero calcolare gli errori dei fit proporzionale e lineare e confrontarli.
Sono convinto che le grandezze devono svolgere il ruolo fondamentale, mentre gli errori devono rappresentare soltanto degli affinamenti, per cui le leggi devono emergere dai dati senza eccessive complicazioni derivanti dalle incertezze di misura.
Pertanto reputo che le relazioni estratte da un semplice esame dei grafici abbiano validità per gli studenti della scuola media superiore. Penso che soltanto nelle ultime classi e nelle gare siano adeguati i minimi quadrati nella forma y=mx+p con m e p ottenuti con foglio elettronico o calcolatrice. In particolare nelle Olimpiadi credo che bisogna adattarsi al programma e alla consuetudine. Ma su questo punto gli organizzatori o chi ha già sperimentato le gare possono essere più pertinenti.

Pigkappa
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Re: Media ed equazione delle retta

Messaggio da Pigkappa » 3 gen 2010, 18:31

pascal ha scritto:In particolare nelle Olimpiadi credo che bisogna adattarsi al programma e alla consuetudine. Ma su questo punto gli organizzatori o chi ha già sperimentato le gare possono essere più pertinenti.
Nelle Olimpiadi (nazionali, ma di solito anche internazionali) non si è troppo pignoli su queste cose, perchè non ci si aspetta che gli studenti sappiano il metodo dei minimi quadrati o che conoscano metodi di fit avanzati. Di solito, qualunque metodo ragionevole e che conduce a risultati ragionevoli è accettato senza togliere punti (o almeno spero che lo sia...). A Senigallia, se dovete fare fittare dei punti con una retta passante per l'origine per trovarne la pendenza, penso che possiate:

A)Fare il grafico a mano imponendo che passi per l'origine, e misurare la pendenza.
B)Fare il grafico a mano senza imporre che passi per l'origine, e misurare la pendenza.
C)Usare il metodo dei minimi quadrati, o qualunque metodo analitico di fit che conoscete, imponendo o no che la retta passi per l'origine.
D)Usare le funzioni speciali della vostra calcolatrice per il fit (è il metodo migliore, usatelo!).

La cosa più conveniente è usare il metodo D. Se passate per il disegno, vi consiglio di accertarvi che la "retta migliore" passi comunque vicino all'origine, e che la "miglior retta per l'origine" approssimi bene i dati. Altrimenti, avete sbagliato qualcosa (ed è meglio dirlo che fare finta di niente).

In generale, comunque, si dice che è meglio non imporre che la retta passi per forza per l'origine, anche se dovrebbe farlo. Se non ci va neanche vicino, comunque, qualcosa non va...
"Per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l'infinito!" (cit.)
"Perché dovremmo pagare uno scienziato quando facciamo le migliori scarpe del mondo?" (cit.)

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