Cinematica e Archimede.

Alex90 · Messaggio da **Alex90** » 4 mag 2009, 22:52

La seconda...non credevo di poter considerare costante la Forza di Archimede...

deliriumcordia · Messaggio da **deliriumcordia** » 4 mag 2009, 22:54

Pigkappa ha scritto:Non ho capito cosa è $F_S$ nella notazione di Alex90.

Comunque avevi scritto:

che viene lasciata cadere nel vuoto

Perciò ho fatto quell'obiezione.

Il calcolo senza considerare la viscosità e l'energia persa nell'urto è facile. Prendiamo come positiva la direzione verso l'alto. La forza peso è $F_g = Mg$ . La forza di Archimede è
$F_A = \rho V g = \rho \frac{4 \pi R^3}{3}$
dove R è il raggio della sfera, $\rho$ la densità dell'acqua. Basta imporre che il lavoro fatto sia uguale alla variazione di energia cinetica:

$\frac{1}{2} M v^2 = (F_A-F_g) h$

Da cui ottieni il risultato.

Il problema è che nella realtà la viscosità dell'acqua secondo me è importante, e non so come trattare questi fenomeni. Andando a vedere sul Rosati, si trova che in questi casi, considerando il moto dell'acqua laminare (per carità), sulla sfera agisce anche una forza che si oppone al moto di modulo pari a (legge di Stokes):

$F = 6 \pi \eta v R$

Dove $\eta$ è la viscosità dell'acqua. Considerando anche questa forza, si ottiene un'equazione differenziale che dovreste essere in grado di risolvere (il solito attrito proporzionale alla velocità).

Per quanto riguarda il vuoto scusami, hai perfettamente ragione.

Ricapitolando il problema dalle origini, conta qualcosa per quanto riguarda la caduta il fatto che la palla non sia piena ma sia cava al suo interno?

Il mio ragionamento è stato il seguente:

$r = 2.5 m$

$m = 2000 kg$

$V = \frac{4 \pi r^3}{3} = 65.45 m^3$

$d = \frac{2000}{65.45}$ $= 30.55 \frac{kg}{m^3}$

$v_{L} = \sqrt{\frac{8 \rho r g}{3 C \rho_{aria}}} = \sqrt{\frac{8 * 30.55 * 2.5 * 9.8}{3 * 0.5 * 1.22}} = \sqrt{3335} = 58.35 \frac{m}{s}$

dove $\roh$ è la densità della sfera, $C$ è il cosiddetto coefficiente di forma, $\rho_{aria}$ è la densità dell' aria.

Fin qui mi confermate?

EDIT: Sistemata formattazione latex.

deliriumcordia · Messaggio da **deliriumcordia** » 4 mag 2009, 23:09

Per quanto riguarda la profondità, a questo punto mi accontenterei di cacciare fuori un' approssimazione decente, risolverlo con stokes, viscosità, equazioni differenziali la vedo piuttosto torbida

Messaggio da **Pigkappa** » 4 mag 2009, 23:12

A occhio direi di sì, ma potrei sbagliarmi, perciò faccio il conto (così non studio francese per l'esame di domani >_<).

Sappiamo che la forza di archimede durante l'immersione è strettamente inferiore a:

$F_M = \rho V g = \rho \frac{4}{3} \pi R^3 g= 6,4 * 10^5 N$

Forza peso:

$F_g = M g = 2,0 * 10^4 N$

La variazione di altezza è $-2R$ . L'energia che perderebbe se fosse soggetto a quella forza:

$\Delta E = -2R (F_M - F_g) = -3.1 * 10^6 J$

L'energia che ha è:

$E = \frac{1}{2} M v^2 = 3,3 * 10^6 J$

Che purtroppo è decisamente confrontabile con l'altra. Sigh. Perciò avete ragione e bisogna considerare che la forza di Archimede varia nello spazio percorso. Calcolo anche la forza dovuta alla viscosità alla velocità iniziale:

$F_v = 6 \pi \eta v R = 2,7 N$

Che è un valore estremamente piccolo, e perlomendo questa forza è trascurabile. (sinceramente mi stupisce molto questo risultato, ci penserò in questi giorni)

Comunque alla fine sì, si deve fare il conto che proponete, purtroppo. Buon lavoro

. Semmai leggerò cosa ne avete tirato fuori nei prossimi giorni, però adesso mi spiace ma non ce la faccio a mettermi a integrare quella cosa...

Messaggio da **Pigkappa** » 4 mag 2009, 23:13

deliriumcordia ha scritto:Per quanto riguarda la profondità, a questo punto mi accontenterei di cacciare fuori un' approssimazione decente, risolverlo con stokes, viscosità, equazioni differenziali la vedo piuttosto torbida

A quanto pare stokes e viscosità sono trascurabili. Bisogna integrare quella cosa però, ma non dovrebbe essere troppo difficile.

Comunque, per rispondere al tuo messaggio: non so cos'è il coefficiente di forma (anche se lo immagino, però è un nome buffo), mi fido per la velocità limite... Basta cercare la formula su internet comunque, e come valore è dell'ordine di grandezza ragionevole.

deliriumcordia · Messaggio da **deliriumcordia** » 4 mag 2009, 23:14

Pigkappa ha scritto:A occhio direi di sì, ma potrei sbagliarmi, perciò faccio il conto (così non studio francese per l'esame di domani >_<).

Sappiamo che la forza di archimede durante l'immersione è strettamente inferiore a:

$F_M = \rho V g = \rho \frac{4}{3} \pi R^3 g= 6,4 * 10^5 N$

Forza peso:

$F_g = M g = 2,0 * 10^4 N$

La variazione di altezza è $-2R$ . L'energia che perderebbe se fosse soggetto a quella forza:

$\Delta E = -2R (F_M - F_g) = -3.1 * 10^6 J$

L'energia che ha è:

$E = \frac{1}{2} M v^2 = 3,3 * 10^6 J$

Che purtroppo è decisamente confrontabile con l'altra. Sigh. Perciò avete ragione e bisogna considerare che la forza di Archimede varia nello spazio percorso. Calcolo anche la forza dovuta alla viscosità alla velocità iniziale:

$F_v = 6 \pi \eta v R = 2,7 N$

Che è un valore estremamente piccolo, e perlomendo questa forza è trascurabile. (sinceramente mi stupisce molto questo risultato, ci penserò in questi giorni)

Comunque alla fine sì, si deve fare il conto che proponete, purtroppo. Buon lavoro . Semmai leggerò cosa ne avete tirato fuori nei prossimi giorni, però adesso mi spiace ma non ce la faccio a mettermi a integrare quella cosa...

Grazie mille comunque pig, mi metterò a integrare quel robbone cercando di cavarci un ragno fuori dal buco, anche se la vedo bruttina. Tu sorvegliami dall' alto della tua onniscenza!

In bocca al lupo per l' esame di domani!

MicroM · Messaggio da **MicroM** » 5 mag 2009, 11:35

Dette $H$ la profondità del punto più basso della sfera e $\Delta\gamma$ la differenza di densità media dell'acqua e della sfera, il lavoro fatto dal peso e dalla spinta di Archimede a partire dall'impatto è ottenibile per integrazione (non difficile per altro):

se $H \le 2R$ (parziale immersione)
$L= -\frac{1}{12} g \Delta\gamma\pi H^3 (4R-H)$

se $H > 2R$ (completa immersione)
$L=-\frac{4}{3}g\Delta\gamma \pi R^4 (H-R)$

Dal teorema delle forze vive (trascurando la forza d'impatto e gli effetti fluidodinamici dell'acqua) ottieni il risultato

$H_{max} = 3.143R$

deliriumcordia · Messaggio da **deliriumcordia** » 5 mag 2009, 11:46

Quindi H è in funzione del raggio?

hmm..

Ti ringrazio

Adesso il mio problema è ottimizzare la profondità, ossia capire cosa mi conviene modificare della sfera (massa, altezza di caduta, diametro) per permettergli di arrivare più profondo possibile.

Da quel che ho capito l'altezza di caduta conta fino ad un certo punto, in quanto poi si avvicina abbastanza alla velocità limite.

Quello che mi conviene modificare in questa formula è la densità (quindi o aumento la massa della sfera, o rimpicciolisco in raggio, visto che a numeratore ho $r$ , mentre al denominatore $r^3$ , giusto?

$v_{L} = \sqrt{\frac{8 \rho r g}{3 C \rho_{aria}}}$

Combinando però la formula finale per la profondità ricavata da te, la profondita dipende da $r$ .

Quindi cosa mi conviene ottimizzare affinchè la palla vada più a fondo possibile? L'altezza da cui lascio cadere la palla non penso, alla fine basta trovare un'altezza che mi permette di avvicinarmi sufficientemente alla velocità limite e posso considerarla parametrica del problema. Il raggio? Se però aumento il raggio devo aumentare pure la massa, altrimenti la velocità limite di caduta decresce anch'essa.

CoNVeRGe. · Messaggio da **CoNVeRGe.** » 5 mag 2009, 15:47

Beh, conviene sicuramente avvicinare la densità della sfera a quella dell'acqua lasciando il raggio invariato, in modo tale da aumentare la forza peso mentre la forza di archimede resta uguale.

MicroM · Messaggio da **MicroM** » 5 mag 2009, 16:08

CoNVeRGe. ha scritto:Beh, conviene sicuramente avvicinare la densità della sfera a quella dell'acqua lasciando il raggio invariato, in modo tale da aumentare la forza peso mentre la forza di archimede resta uguale.

certo, infatti se le densità sono uguali il corpo non si ferma mai

Adesso però mi sfugge l'origine del problema proposto ..... è accademia o qualcosa di reale?

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