Strato uniformemente carico

[Leonhard Euler]

Dato uno strato infinito di spessore con densità volumica di carica determinare:
Il campo elettrico all'esterno dello strato.
Il campo elettrico all'interno.
A seconda del segno di un elettrone che viene lanciato con velocità da un foro che attraversa lo spessore dello strato quali tipi di moto può compiere?

[Luca Milanese]

Fisso un sistema di riferimento cartesiano con l'asse delle perpendicolare allo strato, che è delimitato dai piani e . Data la simmetria del problema, il campo elettrico dipenderà solo da e avrà componenti e identicamente nulle, pertanto:

Dalla legge di Gauss ricaviamo:
per
per
Dalla prima equazione, integrando e osservando che per simmetria:
per
La seconda equazione ci dice invece che è uniforme sia a destra che a sinistra dello strato, perciò assume ovunque lo stesso valore che assume sui due piani:
per
per
Se è positivo, allora il campo elettrico punta ovunque verso l'esterno dello strato, pertanto l'elettrone, che ha carica negativa, subisce una forza di richiamo ed entra in moto oscillatorio attorno alla posizione di equilibrio . Se invece è negativo, la forza agente sull'elettrone lo spingerà verso l'esterno e l'elettrone raggiungerà l'infinito.