Tre masse ed un pistone

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Pigkappa
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Tre masse ed un pistone

Messaggio da Pigkappa » 5 lug 2020, 23:22

Questo problema l'ho proposto per la selezione del PreIPhO negli ultimi due anni, ma non lo abbiamo scelto perche' avevamo problemi di meccanica piu' belli e pandemie generali. Lo metto qua come esempio di cose che sperimentiamo per il preIPhO. E' piu' lungo e contoso dei problemi della staffetta che stanno uscendo, ma e' comunque un allenamento utile se qualcuno vuole cimentarsi :D

Il testo e' su overleaf: https://www.overleaf.com/read/nqdvsvswmjgj
C'e' un tasto per scaricare il pdf vicino al pulsante "Recompile".
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Luca Milanese
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Re: Tre masse ed un pistone

Messaggio da Luca Milanese » 7 lug 2020, 12:26

1.-2.
Fisso un sistema di riferimento cartesiano con le crescenti verso destra e le crescenti verso l'alto.
Detta la tensione nella fune, abbiamo le seguenti equazioni per e :


Da cui:

I vincoli geometrici del problema (guida verticale e fune inestensibile) portano ad altre due equazioni:


E per la conservazione della q.d.m. lungo :

Risolvendo il sistema ottengo:



Nel limite , le accelerazioni si riducono alle classiche:



3.
Inserendo i valori numerici:




Più tardi posto il seguito :D

Luca Milanese
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Re: Tre masse ed un pistone

Messaggio da Luca Milanese » 7 lug 2020, 16:27

4.
La distanza cambia con accelerazione , pertanto si sovrappone a in un tempo dato da .
Similmente si ricava il tempo di caduta della massa : la distanza iniziale di dal suolo è data da poichè i blocchi sono cubici, dunque .
Infine, la distanza varia con accelerazione , quindi .
Poichè è il tempo minore, il moto del sistema termina quando il blocco urta la carrucola.

5.
Se non c'è la guida verticale, le uniche forze agenti su sono il suo peso e la tensione , inizialmente entrambe verticali, quindi:


La tensione agisce come prima su :

Inoltre valgono ancora la condizione dovuta alla geometria del sistema e la conservazione della quantità di moto lungo :
.
Risolvendo il sistema ottengo:





6. Il moto del sistema prosegue con la massa che si sposta verso sinistra, la massa che si muove a destra e la massa che cade oscillando a destra e a sinistra. Le accelerazioni trovate al punto precedente non sono costanti perchè appena i due blocchi si muovono la fune non si trova più ad essere verticale, e quindi assume anche un'accelerazione orizzontale variabile. Poichè continuano a non agire forze esterne orizzontali sul sistema, la sua quantità di moto non cambia e perciò variano anche le accelerazioni dei blocchi.

7. Le forze orizzontali agenti inizialmente sul blocco più grande sono la forza elastica dovuta alla molla e una forza di reazione in modulo pari alla tensione che la carrucola esercita, tramite la fune inestensibile, sul blocco più piccolo. La prima ha modulo e punta a destra poichè la molla è compressa. La seconda si può ottenere dalle equazioni del punto 1. poichè la situazione è analoga ( immobile, ed soggetti alla gravità). Pertanto .
Uguagliando le forze si ricava .
Inoltre, sapendo che neanche il pistone si muove, è possibile ricavare il valore iniziale della pressione del gas in esso contenuto, che sarà utile più avanti:
.

8. Siano e rispettivamente le distanze iniziale e finale del pistone dal fondo del recipiente (parete di sinistra). Sappiamo che , mentre , dove è la lunghezza finale della molla. Detta la pressione finale del gas, vale per l'equilibrio:

Poichè le pareti di contenitore e pistone sono diatermiche, la temperatura finale del gas sarà pari alla temperatura ambiente che era anche la sua temperatura iniziale, perciò, supponendo valida l'equazione di stato dei gas perfetti (non mi sembra che il testo dica se il gas è ideale), vale . Risolvendo queste equazioni trovo , da cui , un valore che mi sembra molto piccolo, ma sinceramente sono morto di LaTeX e non credo che riuscirei a ricontrollare i conti per bene adesso :lol: . Aspetto correzioni.
Ultima modifica di Luca Milanese il 7 lug 2020, 23:01, modificato 1 volta in totale.

Pigkappa
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Re: Tre masse ed un pistone

Messaggio da Pigkappa » 7 lug 2020, 21:59

Ottimo lavoro!

1. Ok 0.5
2. Ok 2.5
3. Ok 0.3
4. Ok 1.0
5. Il procedimento mi sembra giusto ma a me viene un risultato leggermente diverso. Comunque avresti perso qualche punto anche se i conti fossero giusti, perche' mancano le risposte numeriche... Ma ora mi accorgo che nel testo non ho scritto esplicitamente di dare le risposte numeriche. Non e' vitale per il punto 5., ma per rispondere bene al 6. servivano sicuramente. 1.0
6. Non hai risposto a parte della domanda: puoi riconoscere un moto chiaramente oscillatorio prima che il moto termini? 0.7
7. Mi viene un risultato diverso, forse ti sei scordato la forza tra e la guida attaccata a ? 0.2
8. Ok, penso. Mi viene un risultato leggermente diverso ma penso sia conseguenza del punto 7. 2.5
Totale 8.7/10

La mia soluzione e' qua: https://www.overleaf.com/read/cqqgbcfmkrdn
Dato che non abbiamo scelto il problema, non era stata ricontrollata da altri, quindi e' possibile che ci sia un errore nella mia soluzione, nel qual caso i tuoi punteggi sarebbero da alzare di conseguenza.
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Re: Tre masse ed un pistone

Messaggio da Luca Milanese » 7 lug 2020, 23:21

5. Intanto ho trovato (e corretto) un errore di segno nei miei denominatori. La differenza nelle risposte mi sembra stare nel fatto che, per il vincolo geometrico della lunghezza del filo, io ho considerato la posizione della carrucola (e quindi ), mentre tu hai usato , anche nei punti 1. e 2. (dove però si aveva ). Quale delle due è corretta?
6. Hai ragione, qui ho risposto male.
7. Ma se resta fermo, e quindi anche non si muove orizzontalmente per via della guida, perchè dovrebbe esserci una forza agente fra i due oggetti? Semmai su agisce la reazione della carrucola che tira, tramite la corda, con tensione . Nella soluzione hai usato l'accelerazione trovata al punto 2., mentre io ho usato i risultati del punto 1. perchè la situazione è analoga a quella ( immobile).

Un'altra domanda: inizialmente avevo risolto i primi punti del problema usando quel poco che so di meccanica lagrangiana, perchè in situazioni come questa spesso abbrevia i conti rispetto a . In una gara andrebbe bene oppure si tratta di un metodo non olimpico?

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Re: Tre masse ed un pistone

Messaggio da Pigkappa » 8 lug 2020, 21:32

Luca Milanese ha scritto:
7 lug 2020, 23:21
per il vincolo geometrico della lunghezza del filo, io ho considerato la posizione della carrucola (e quindi ), mentre tu hai usato . Quale delle due è corretta?
La lunghezza del filo a meno di costanti e' ; trascuriamo che comunque sara' al secondo ordine; ; per cui avevi ragione tu.
Luca Milanese ha scritto:
7 lug 2020, 23:21
perchè dovrebbe esserci una forza agente fra i due oggetti?
Si' mi sa che hai ragione anche su questo. fermo vuol dire che non si muove lungo x che vuol dire che la forza sulla guida e' 0 e siamo nel caso del punto 1.
Luca Milanese ha scritto:
7 lug 2020, 23:21
Un'altra domanda: inizialmente avevo risolto i primi punti del problema usando quel poco che so di meccanica lagrangiana, perchè in situazioni come questa spesso abbrevia i conti rispetto a . In una gara andrebbe bene oppure si tratta di un metodo non olimpico?
E' un metodo non olimpico ma puoi usarlo, purche' lo usi bene. Se provi a usare la lagrangiana e sbagli i conti, probabilmente vieni trattato meno generosamente che se usi un metodo olimpico e sbagli i conti.
Comunque di solito imporre la conservazione di energia e quantita' di moto e' equivalente a fare i conti con la lagrangiana, per quanto riguarda la quantita' di calcoli da fare.
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Re: Tre masse ed un pistone

Messaggio da Pigkappa » 8 lug 2020, 21:52

Se hai voglia di fare un'altra cosa non olimpica puoi provare a simulare il moto per vedere come si muovono le 3 masse nel caso senza guida. Io avevo scritto un po' di codice in Mathematica per farlo qualche anno fa, probablilmente sbagliando un po' dato che abbiamo visto che avevo scritto male l'equazione sulla lunghezza del filo. Mi veniva cosi': https://www.dropbox.com/s/h2b86ieey4mba ... p.avi?dl=0 (che peraltro neanche concorda del tutto con la mia risposta che non si vede un moto oscillatorio; sarebbe bene rivedessi tutto se avessi tempo...)
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Re: Tre masse ed un pistone

Messaggio da Luca Milanese » 8 lug 2020, 22:24

Grazie mille per le risposte! Purtroppo non saprei neanche cosa scrivere per simulare al computer il moto del sistema, data la mia ignoranza in informatica... :lol:

Pigkappa
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Re: Tre masse ed un pistone

Messaggio da Pigkappa » 8 lug 2020, 23:05

Non e' troppo difficile imparare quel che serve per farlo in Mathematica (https://www.wolfram.com/mathematica/?source=nav e' il sito ufficiale, non so se online ci sono versioni gratis). La applicazione costa un po' ma averne familiarita' puo' aiutare perche' per certi conti facili e' piu' comoda che scrivere codice in altri linguaggi, ad esempio per risolvere equazioni differenziali, se non hai pretese di farlo nel modo piu' efficiente. Il mio codice era a https://www.dropbox.com/s/fi8sj5fa7unp5 ... e.pdf?dl=0 e in quell'esempio stavo testando altri valori delle masse per cui si vedeva una oscillazione, quando li rimetto come nel testo non si vede piu'.
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