220. Oscillazioni in orbita.

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Luca Milanese
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220. Oscillazioni in orbita.

Messaggio da Luca Milanese » 30 giu 2020, 14:14

Un corpo di massa si muove in un potenziale della forma in orbita circolare. Calcolare il rapporto tra il periodo di oscillazione in senso radiale, attorno alla distanza di equilibrio, e il periodo di rivoluzione.

bosone
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Re: 220. Oscillazioni in orbita.

Messaggio da bosone » 3 lug 2020, 10:53

Non lo volevo postare ma nessuno si è fatto vivo..Allora V(r)= , . Per trovare ho considerato la forza centripeta dove R è il raggio dell'orbita circolare. Avrei ottenuto . Per trovare il periodo dell'oscillazione avrei considerato una piccola fluttuazione x<<R nella direzione di r attorno ad R. Avrei pensato di porre con un piccolo sviluppo arrestato al primo termine per cui l'equazione del moto sarebbe quella di un moto armonico con un termine costante F(R) e . A parte i miei frequenti errori di calcolo otterrei
.
Nel caso che fosse sbagliato resta così. Nel caso fosse giusto ti prego di continuare tu la staffetta. Vado al mare ma farò gli esercizi di autovalutazione! :D

Luca Milanese
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Re: 220. Oscillazioni in orbita.

Messaggio da Luca Milanese » 3 lug 2020, 11:43

L'espressione trovata per è ovviamente corretta, però il risultato finale non mi torna. L'idea di approssimare con Taylor al primo ordine va benissimo, probabilmente hai sbagliato qualcosa nel fare i conti. Per chi volesse ancora provarci, consiglio di fare le approssimazioni dopo aver scritto in direzione radiale e aver eliminato la velocità angolare introducendo il momento angolare (che alla fine si semplificherà). Per il momento non posto il 221.

Luca Milanese
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Re: 220. Oscillazioni in orbita.

Messaggio da Luca Milanese » 6 lug 2020, 11:21

Dal momento che nessun altro si è fatto avanti, posto la soluzione del problema.
La seconda legge di Newton in direzione radiale è:

Il momento angolare del corpo rispetto all'origine vale ed è costante nel tempo. Sostituendo nell'equazione precedente si ottiene:
.
Ora scriviamo, come faceva bosone, e sostituiamo:

Approssimando con Taylor al prim'ordine in :
.
Imponendo che sia un punto di equilibrio si ottiene , perció l'equazione precedente si semplifica in:
.
A questo punto risostituiamo , dove è la velocità angolare orbitale del corpo e vale :

Quindi la pulsazione delle piccole oscillazioni radiali vale , il periodo di oscillazione vale e il rapporto richiesto è .

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