186. Satelliti Artificiali in orbita

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east_beast
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186. Satelliti Artificiali in orbita

Messaggio da east_beast » 2 mar 2020, 22:31

Due satelliti artificiali, modellizzabili a punti materiali di massa orbitano su orbite circolari (di egual periodo ) attorno ad un pianeta di massa (), il primo satellite ha una distanza dal centro del pianeta (costante) mentre il secondo ha una distanza dal centro del pianeta, .
I due satelliti sono sempre equidistanti, cosicché è la distanza tra di essi (). Una struttura rigida (che puoi modellizzare come un filo inestensibile di lunghezza ) tiene insieme i due satelliti alla stessa distanza, determinare il periodo di rotazione dei satelliti rispetto al pianeta e la forza che la struttura esercita sui satelliti.

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Re: 186. Satelliti Artificiali in orbita

Messaggio da Spätzle » 3 mar 2020, 14:06

Non vorrei dire una sciocchezza... ma da quello che ho capito la velocità angolare dei due satelliti è uguale (essendo il periodo uguale). Quindi, sulla componente radiale, la risultante delle forze agenti sul satellite a distanza R è e sul satellite a distanza R' è .
Ha senso fin qui?

east_beast
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Re: 186. Satelliti Artificiali in orbita

Messaggio da east_beast » 3 mar 2020, 15:46

Ha senso, tuttavia scrivendo quell' rappresenta un valore medio, non puoi sapere se le due velocità angolari sono uguali istante per istante. Puoi mostrare che questo è vero in modo più formale considerando che: (fai un bel disegno)
  • Le orbite sono circolari, ossia e
  • Il supporto che le collega è rigido, quindi
  • Notando che puoi scomporre lungo i versori , infatti


    questo perchè essendo l'angolo compreso tra i vettori R ed R' è molto piccolo e la proiezione di su
Essendo R, R', r costanti in modulo, notiamo che la componente lungo di è costante, e di conseguenza deve esserlo la componente lungo , l'angolo è quindi costante,
, ossia , le due velocità angolari sono uguali in tutto il moto.

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Re: 186. Satelliti Artificiali in orbita

Messaggio da Spätzle » 3 mar 2020, 16:58

Scrivo la seconda parte della mia idea di soluzione.
Detta la componente radiale della tensione del filo, dal II principio della dinamica si ha
sul satellite a distanza R dal pianeta

sul satellite a distanza R' dal pianeta

Si dovrebbe ricavare

e sostituendo si dovrebbe ottenere , da cui si ricava con la formula di prima.

È possibile?


_______________
Grazie alla tua puntualizzazione, mi è venuta in mente questa considerazione. Se è diverso da 0, allora la tensione su ciascun satellite ha una componente tangenziale. Questa componente tangenziale non dovrebbe far ruotare il filo finché non diventa ? In quella condizione di regime effettivamente è costante?

east_beast
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Re: 186. Satelliti Artificiali in orbita

Messaggio da east_beast » 3 mar 2020, 18:17

Attenzione, la tua soluzione dovrebbe essere corretta (anche se credo che tu possa approssimare ancora di più) solo se i satelliti sono allineati con il centro del pianeta, ossia
Infatti in generale , a meno che non sia

La tua considerazione sul momento è parzialmente corretta, la rotazione continua però anche dopo che , il momento si inverte e la rotazione frena per poi iniziare nel verso opposto. Si generano quindi delle oscillazioni attorno al CM del sistema formato dai due satelliti. Data la traccia del problema, cosa concludi?

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Re: 186. Satelliti Artificiali in orbita

Messaggio da Spätzle » 4 mar 2020, 11:33

Se non sbaglio, a questo punto potrei affermare che, essendo molto piccolo (e questo l'abbiamo già appurato, siccome r << R etc.), possiamo considerare parallelo a . Così si giustificano i passaggi precedenti.

Detto ciò, provo a scrivere in una forma più compatta:
.
Adesso devo usare delle approssimazioni per semplificare il radicando. Mi sembra sensato, alla luce di tutte le precedenti considerazioni, considerare . Si ottiene così .

Ricordo che, normalmente, un satellite a distanza dal pianeta ha velocità angolare .
Quindi il radicando mi pare sia la media aritmetica dei radicandi che avrei utilizzato se ci fosse stato uno solo dei 2 satelliti.
A me sembrerebbe eccessivo considerare .

Può essere accettabile questa soluzione?

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Re: 186. Satelliti Artificiali in orbita

Messaggio da east_beast » 4 mar 2020, 14:43

Affinché le orbite siano circolari, non possono esserci delle oscillazioni rispetto al CM del sistema formato dai due satelliti (almeno credo) quindi deve essere che , ossia i due satelliti sono allineati con il centro del pianeta. Quindi anche in modulo , ora la situazione è più semplice da studiare (pensa al CM).
Per quanto riguarda l'approssimazione, ricorda che per x molto piccoli, per quanto riguarda il periodo va bene considerare , ma per trovare F non va più bene fisicamente, perché sarebbe come dire che la struttura rigida non ha lunghezza

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Re: 186. Satelliti Artificiali in orbita

Messaggio da east_beast » 4 mar 2020, 19:41

Comunque si la risoluzione è corretta, vai pure col 187!

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