massimo lavoro estraibile da una massa d’aria

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marcello.modica
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Re: massimo lavoro estraibile da una massa d’aria

Messaggio da marcello.modica » 3 ott 2019, 19:50

E' un elaborato di Impianti Termotecnici per Ingegneria delle Sicurezze.
Se mi dai una tua mail ti mando il pdf dell'elaborato completo. la mia e-mail è: modica.marcello@libero.it

marcello.modica
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Re: massimo lavoro estraibile da una massa d’aria

Messaggio da marcello.modica » 15 nov 2019, 19:58

Lo svolgimento è questo:
Osservando il diagramma PV si può notare come il percorso termodinamico del gas sia suddivisibile in due parti definite
1 -> 2: L’aria inizialmente compressa si espande, fino a raggiungere la pressione dell’ambiente pari ad 1bar. Si suppone che l’espansione avvenga in maniera abbastanza veloce da non permettere scambio di calore tra l’aria e l’ambiente esterno: avviene cioè un’espansione adiabatica;

2 -> 3: l’aria, una volta raggiunta la pressione di 1bar, libera calore utilizzabile per produrre lavoro (ad esempio tramite una macchina di Carnot) fino a quando raggiunge la temperatura ambiente T0
Durante la prima trasformazione lo scambio di calore con l’ambiente esterno è considerato nullo, per cui il primo principio della termodinamica si riduce a

L12 = U1-U2

e la differenza di energia interna è facilmente calcolabile con la seguente formula:

U1-U2 = M.Cv.(T1-T2)

Sembrerebbe quindi che il lavoro prodotto durante la prima parte del processo sia calcolabile tramite le due equazioni espresse. in realtà al valore così ottenuto deve essere sottratto il lavoro che viene assorbito dall’ambiente, a causa della forza esercitata dalla pressione atmosferica. Immaginando infatti l’aria racchiusa in un recipiente cilindrico, e immaginando che le sue variazioni di volume spostino uno stantuffo, si può notare come all’esterno dello stantuffo stesso non ci sia una pressione nulla, ma è presente la pressione atmosferica di 1bar. L’equazione utile per ricavare il lavoro effettivamente disponibile per gli organi meccanici di una eventuale macchina è dunque la seguente:

L12 = U1-U2 = M.CV.(T1-T2) - p0 (V2-V1)

Per ricavare tutti i valori necessari alla soluzione della formula precedente si procede nel seguente modo: si ricava il volume iniziale dell’aria dall’equazione di stato dei gas perfetti

p1V1 = M1RT1

quindi, considerando che la pressione nel punto 2 è nota perché pari alla atmosferica, e ricordando che la trasformazione è adiabatica, si ricava il volume V2 dell’aria nel punto 2 dalla seguente identità:

p1V1γ = p2V2γ

In cui il valore di γ per l’aria è noto e uguale circa a 1,41 (considerando l’aria come gas biatomico). Una volta ricavato V2 riutilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti si ricava T2, e si ottengono così tutti i valori necessari al calcolo di L12.

Per quanto riguarda la seconda parte della trasformazione, è sufficiente ipotizzare che il calore rilasciato dall’aria venga utilizzato da una macchina di Carnot (la quale garantisce il massimo sfruttamento di tale calore) che lavori tra la temperatura dell’aria stessa e la temperatura ambiente. Tuttavia, man mano che si preleva calore all’aria, la temperatura della stessa non si mantiene costante, ma diminuisce progressivamente. Di conseguenza la seguente equazione, che dovrebbe essere utilizzata se la macchina lavorasse tra temperature fisse, cioè

L= -(1- T0/T2). M. Cv. (T2-T0)

deve essere applicata in forma differenziale

dL = -(1- T0/T2). M. Cv. dT

e integrata tra le due temperature estreme, cioè T2 e T0. Si ottiene così la formula risolutiva

L23 = M. Cv.[ (T2-T0) - T0 . ln T0/T2 ]

Il lavoro totale è dato dalla somma di L12 e L23.

Ora passiamo al calcolo numerico:

P1 = 10 bar = 1.000.000 Pa
P0 = 1 bar = 100.000 Pa
T1 = 482 °C + 273,15 = 755,15 °K
T0 = 20 °C + 273,15 = 293,15 °K

R = 287,05 J/Kg°K
Cv = 0,717 KJ/kg°K
Cp = 1,025 KJ/kg°K
γ = 1,4

V1 = M.R.T1/P1 = 10 . 287,05 . 755,15/1.000.000 = 2,16 m3/kg


V2γ = P1 . V1γ /P2 = 10.2,16(1,4) = 29,40 m3/kg

V2 = 13,24 m3/kg

T2 = P2.V2/M.R = 1. 13,24/ 10 .287,05 = 380,0542 °K

L12 = M.Cv (T1 - T2) - P0 (V2 - V1)

L12 = 10 . 0,717 (755,15 - 380,0542) - 100.000 (13,24 - 2,16) 10-3 = 1581,43 KJ/kg

L23 = M.Cv [(T2 - T0) - T0 . ln . T2/T0]

L23 = 10 . 0,717[(380,0542 - 293,15) - 293,15 . ln 380,0542/293,15 ]= 77,39 KJ/kg

LT = L12 + L23

LT = 1581,436886 + 77,39 = 1658.82 KJ/kg

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