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Direi che non puoi considerare un lato come una sbarretta... Se T1 cresce, intuitivamente anche la temperatura nel punto medio tra gli altri due vertici cresce...

Comunque il problema si può risolvere con considerazioni di simmetria simile a queste per cui ci puoi arrivare.

Scusa se mi permetto anch'io di consigliarti. La logica delle rette-sbarrette in questo caso "spaziale" si traduce in quella del piano passante per i tre punti aventi ascissa-ordinata quelle di A,B,C e quota z quella delle tre temperature date. Sostituendo in questa equazione l'ascissa- ordinata del centro torna come quota z proprio la media aritmetica delle tre temperature

Potete alternativamente pensarla in questo modo: una volta raggiunto l'equilibrio, la temperatura soddisfa le stesse equazioni del potenziale elettrico. Potete quindi cercare di risolvere il problema analogo in cui conoscete il potenziale elettrico sui tre vertici e volete conoscere il potenziale al centro. A questo punto usate le giuste simmetrie.

Io avevo pensato che una volta all'equilibrio l'anno temperatura in un punto varrà dove le tre funzioni sono determinate dalle caratteristiche fisiche del materiale e indipendenti dalle temperature... Supponendo le tre temperature uguali otteniamo che per ogni punto interno al triangolo e vista la simmetria rispetto al centro ...

BeppeBogna : a quali equazioni ti riferisci?

Il potenziale è (in una regione priva di cariche) una funzione armonica, cioè a laplaciano nullo. Anche la temperatura, in condizioni stazionarie lo è. Ora, non ti serve davvero saper risolvere quelle equazioni, l'unica cosa che ti serve sapere è che sono lineari (cioè la somma di due soluzioni è ancora soluzione).

Si esattamente, il problema si può risolvere molto facilmente sfruttando simmetrie. In ogni caso va bene come soluzione e la staffetta è tua, anche se ti consiglio di pensare a una soluzione alternativa che sfrutti solo la linearità di quelle equazioni come diceva Beppe.

Beh la soluzione di Aleskej usa solo la linearità, o sbaglio? È uguale a quella che avevo pensato io.

Qualcuno potrebbe dare qualche spiegazione in più sulla soluzione? Cosa sono quelle tre funzioni in x e y?

Assumi che per cominciare. Se , e' intuitivo che ovunque. Se (1 grado, o 1 in qualsiasi unita' vuoi), la soluzione sara' data da una qualche funzione che chiamo e non conosciamo.

Le equazioni di propagazione del calore, e specialmente l'equazione che deve soddisfare sono lineari. Chi fa il liceo queste equazioni non le conosce perche' sono complicate, ma per risolvere il problema bisogna fidarsi del fatto che sono lineari. Se sono lineari, moltiplicare le condizioni al bordo per una costante fa si' che anche la soluzione sia moltiplicata per la stessa costante. Per cui se invece di la temperatura nel primo vertice e' , la temperatura sara' .

Se invece che si ha e , la temperatura in ogni punto sara' data da una funzione . non e' uguale a perche' i vertici sono due vertici diversi. Presumibilmente se ruoti di 120 gradi intorno al centro del triangolo troverai . E' comunque chiaro che nel centro del triangolo, , e similarmente se definisci anche quella sara' uguale.

Se sono uguali a , a questo punto dovresti riuscire a convincerti che . Inoltre nel centro del triangolo le tre funzioni sono uguali, per cui

Se , intuiamo che la temperatura sara' 1 ovunque, da cui , da cui e nel caso generale la temperatura e' .

Per chi conosce le derivate parziali, l'equazione di propagazione del calore e' nella forma . All'equilibrio . BeppeBogna si riferiva all'equazione del potenziale elettrico che in generale e' ; nel vuoto (carica ) diventa .

Sì è vero, usa solo la linearità e la soluzione di Pigkappa è ovviamente corretta, quello che intendevo è che si possono trovare soluzioni più intuitive.

Hint: pensa a cosa succede se sovrapponi due triangoli con le stesse proprietà di questo ruotati uno di 120° e uno di 240° rispetto al primo...