Inizio subito dicendo che la soluzione al 1) non è farina del mio sacco; è un problema molto noto che conoscevo già. Il 2) invece l'ho fatto io.
1) Supponiamo di "iniettare" una corrente
nel vertice A e di "prelevarla" all'infinito. Potete immaginarvi un anello di centro A e raggio infinito che preleva la corrente.
Al vertice A sono collegati 4 lati. Allora, per simmetria, la corrente che fluisce in ogni vertice è
.
Ora Supponiamo di iniettare nell'anello all'infinito una corrente
e di "prelevare" questa corrente in B. Allora in ogni lato adiacente a B fluisce una corrente
. Adesso sovrapponiamo queste due situazioni. Otteniamo che una corrente
entra in A e esce in B. La corrente che scorre in AB sarà la somma delle correnti che scorre nelle due situazioni. Significa che metà della corrente passa dal lato AB mentre l'altra metà in tutto il resto della griglia. Quindi il resto della griglia ha la stessa resistenza del lato AB, cioè
. La resistenza tra i vertici A e B è quindi quella di due resistenze
messe in parallelo, cioè
.
2) Siccome sappiamo che la resistenza della griglia tolto il lato AB è
, se ai vertici A e B colleghiamo una resistenza
, avremo una resistenza
e una
in parallelo.
La resistenza totale è quindi
.