Si abbia un satellite artificiale costituito da due sferette uguali di massa legate rigidamente da una sbarra di lunghezza e di massa trascurabile. Si vuole studiare il moto del satellite attorno al suo centro di massa mentre questo orbita attorno alla terra su di una traiettoria circolare di raggio . La sbarra forma un angolo con la linea che congiunge G col centro della Terra.
(a) Per quali valori di il satellite è in equilibro rotazionale?
b) Tenendo conto che mostrare il momento delle forze agenti sul satellite è
(c) calcolare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile per r = 7000 Km, L = 5m e m=4kg
Piccole oscillazioni di un satellite
Piccole oscillazioni di un satellite
Ultima modifica di lance00 il 8 gen 2018, 19:18, modificato 2 volte in totale.
Re: Piccole oscillazioni di un satellite
Risolverò prima il prima il punto b)
Ponendoci su un sistema di riferimento (non inerziale) solidale con il CDM del satellite, su ogni massa agiscono due forze: quella centrifuga e quella gravitazionale. La massa di destra orbita a una distanza mentre quella sinistra a , dove . Il momento totale è uguale alla somma dei quattro momenti torcenti, presi con segno. (indicherò con la velocità angolare)
Siccome :
Grazie alle condizioni di orbita trovo che . Sostituisco nell'equazione principale:
Essendo
che corrisponde a quella data dal testo ( a meno del che penso sia sfuggito).
L'oggetto è in equlibrio rotazionale quando quindi se . Le soluzioni sono
Se all'oggetto viene dato un "colpetto", però, la situazione si complica. Infatti se l'oggetto si trova nella posizione , il momento torcente non agisce in modo da avvicinare il corpo alla posizione iniziale, ma in senso contrario. La situazione è quindi di equilibrio instabile. Invece in le forze tendono ad annulare il colpetto iniziale: si tratta di equilibrio stabile.
Per calcolarne le oscillazioni:
Noto che
E' un classico moto armonico e il suo periodo è .
Ponendoci su un sistema di riferimento (non inerziale) solidale con il CDM del satellite, su ogni massa agiscono due forze: quella centrifuga e quella gravitazionale. La massa di destra orbita a una distanza mentre quella sinistra a , dove . Il momento totale è uguale alla somma dei quattro momenti torcenti, presi con segno. (indicherò con la velocità angolare)
Siccome :
Grazie alle condizioni di orbita trovo che . Sostituisco nell'equazione principale:
Essendo
che corrisponde a quella data dal testo ( a meno del che penso sia sfuggito).
L'oggetto è in equlibrio rotazionale quando quindi se . Le soluzioni sono
Se all'oggetto viene dato un "colpetto", però, la situazione si complica. Infatti se l'oggetto si trova nella posizione , il momento torcente non agisce in modo da avvicinare il corpo alla posizione iniziale, ma in senso contrario. La situazione è quindi di equilibrio instabile. Invece in le forze tendono ad annulare il colpetto iniziale: si tratta di equilibrio stabile.
Per calcolarne le oscillazioni:
Noto che
E' un classico moto armonico e il suo periodo è .
Ultima modifica di Gamow00 il 8 gen 2018, 20:21, modificato 1 volta in totale.
Sapere aude
Re: Piccole oscillazioni di un satellite
giusta! In effetti avevo scritto male la formula, ora è corretta. Per quanto riguarda T, il procedimento è giusto però dovrebbe venire dell'odg di 10^3..
Re: Piccole oscillazioni di un satellite
Ho corretto
Mi ero dimenticato di fare il raggio alla terza
Mi ero dimenticato di fare il raggio alla terza
Sapere aude