Corri elfo, corri!

[Doc]

Considero il punto di incontro tra a e b come l' origine O di un sistema cartesiano in cui l' Elfo copre la posizione E(0,-b), mentre Babbo Natale la posizione B(-a,0). In questo sistema cartesiano la strada costituisce l' asse delle ascisse. La legge oraria di Babbo Natale è xb=vt-a. Quella dell' elfo sull'asse delle x è xe=uxt, dove ux è la velocità lungo l' asse x, mentre quella sull'asse y è y=vy-b, dove vy è la velocità relativa all'asse delle ordinate. La condizione affinché l' elfo raggiunga la slitta è che xbf=xef e ybf=yef, dove xbf e ybf sono le coordinate di Babbo Natale quando l' elfo raggiunge la slitta, mentre xef e yef sono le coordinate dell'elfo quando raggiunge la slitta. Da queste relazioni si ricava che
ux=(vt-a)/t e uy=b/t . Attraverso le componenti della velocità u troviamo la direzione del moto tramite una funzione parametrica con parametro t: θ=tan^(-1)⁡〖((vt-a)/b)〗. Troviamo ora t in funzione di (a,b,v,u). Il modulo della distanza percorsa dall'elfo è uguale al prodotto ut. Da ciò otteniamo ut=√(〖(vt-a)〗^2+b^2 ).Elevo i membri alla seconda e trovo così un' equazione di secondo grado in cui l' incognita è t, da cui ricavo due soluzioni. Scarto la soluzione che sicuramente è negativa e ottengo t: t=(va-√(u^2 (a^2+b^2 )-b^2 v^2 ))/(v^2-u^2 ). Sostituisco nella prima equazione e ottengo la formula risolutiva: θ=tan^(-1)⁡〖(v^2 a-v√(u^2 (a^2+b^2 )-b^2 v^2 )-av^2+au^2)/(b(v^2-u^2))〗

[Gamow00]

Sicuro che una delle due soluzioni è sicuramente negativa?

[carol]

Ieri non ho potuto collegarmi. Rispetto al tuo quesito, mi pareva di averlo capito e che la risposta fosse implicita nel post. Infatti tutti i vettori di intensità u compresa fra la distanza del secondo estremo di dalla diagonale (che come detto è la minima intensità u perchè elfo possa raggiungere babbo natale) e v medesimo, ruotati come detto attorno al secondo estremo di hanno necessariamente due intersezioni con la diagonale, simmetriche rispetto al piede della distanza. Quindi si individuano due vettori con la stessa intensità ma con due risultanti diverse dall'addizione con , comunque giacenti sulla diagonale e puntanti babbo natale, e con due angoli diversi rispetto alla verticale una volta riportati parallelamente a partire da elfo. Quando l'intensità u supera v allora ovviamente ruotando il vettore attorno al secondo estremo l'intersezione non può che essere una sola e quindi si individua un solo con un'unico angolo con la verticale. Si vede dalla figura che io non so riprodurre nel forum che gli "doppi" con la stessa intensità sono interni al triangolo rettangolo con ipotenusa v, intensità di , e con cateti la distanza del secondo estremo dalla diagonale e il corrispondente segmento della stessa diagonale. Basta co0ngiungere il secondo estremo di e un punto di quest'ultimo cateto per ottenerli Spero di essermi spiegato non riuscendo a produrre il disegno

[Doc]

L' equazione che permette di determinare il tempo che impiega l' elfo per raggiungere Babbo Natale è t^2(v^2-u^2)-2vat+a^2+b^2. La condizione per cui ci sia una sola soluzione è che v<u. Se invece v>u vi sono due soluzioni, cioè due tempi differenti in cui l' elfo può raggiungere Babbo Natale, date a,b,u e v. Le altre formule risolutive individuano un' unica soluzione, per cui sono parziali. Correggetemi se sbaglio.

[Gamow00]

@Carol:
Scusa non avevo capito che avevi capito... Allora la tua soluzione è perfetta! Interessante vero questo modo di procedere?
Posto questa immagine della tua soluzione per futuri lettori.

[Gamow00]

@Doc
In realtà non è neanche così... Se (dove è una certa velocità determinabile analiticamente o geometricamente) ci sono due valori di che soddisfano il problema. Se c'è un solo valore, mentre se l'elfo non raggiungerà mai Babbo Natale .
Ti consiglio di leggere le soluzioni di lance00,Ciccio98 e carol per capire meglio. Comunque se ti fidi dell'equazione risolutiva che hai trovato il risultato viene da sè.

[carol]

Ti ringrazio tantissimo per la tua immagine. Avessi io questa abilità per il forum Per quanto riguarda il tipo di soluzione ripeto che è l'unica brillante e intelligente. Quella algebrica è sia concettualmente banale e dunque poco istruttiva sia calcolosa al punto da schermare le cose importanti. Si vede poco risolvendolo a quel modo e si sciatta un problema che invece è bellissimo se risolto vettorialmente e geometricamente

[Gamow00]

Si vede poco risolvendolo a quel modo e si sciatta un problema che invece è bellissimo se risolto vettorialmente e geometricamente

Vedo che parliamo la stessa lingua
Comunque la mia abilità si limita a prendere l'immagine dalle soluzioni ufficiali e scriverci sopra "elfo" e "slitta"...