Scivolare senza attrito

[Gamow00]

Un punto P è collocato sopra un piano inclinato. È possibile scivolare da P lungo un filo rettilineo senza attrito, sotto l'azione della forza di gravità, fino a raggiungere il piano sottostante nel punto Q. Dove deve essere scelto Q sul piano per minimizzare il tempo della scivolata?

[carol]

Se l'inclinazione del piano inclinato rispetto all'orizzontale è la perpendicolare condotta da P al piano inclinato e quella condotta da P al piano orizzontale formano lo stesso angolo . Si forma un triangolo rettangolo con l'angolo in P uguale ad . A me tornerebbe che per rendere minimo il tempo di scivolamento bisognerebbe prendere Q come piede sul piano inclinato della bisettrice di questo angolo . Ovviamente posterei il procedimento se il risultato fosse giusto

[Gamow00]

Puoi postare il procedimento

[carol]

Come accennato nel post precedente si viene a determinare il triangolo (diciamo) PHS con H piede della perpendicolare sul piano inclinato, S piede della perpendicolare al piano orizzontale sul piano inclinato e l'angolo in P uguale quindi ad come l'inclinazione del piano inclinato sull'orizzontale. Consideriamo il segmento PQ formante un angolo x con PH compreso fra 0 e . Risulta mentre la componente dell'accelerazione g di gravità agente nello spostamento PQ è . Dalla elementare del moto un.acc. si ricava . Perchè t sia minimo deve allora essere massimizzata l'espressione
. Uguagliando a 0 la sua derivata risulta con semplici passaggi che cioè che . Quindi PQ deve essere la bisettrice di ed il suo piede Q il punto richiesto sul piano inclinato.
Se prendiamo x esterno ad a destra o sinistra viene negativo e quindi senza soluzione

[Gamow00]

Giustissimo. É la soluzione che ho trovato anch'io.
Ne esiste però un'altra secondo me abbastanza interessante. Vi do un indizio: immaginate che al punto P siano collegati infiniti fili in ogni direzione e che su ognuno ci sia una perlina. All'istante iniziale tutte le perline sono sul punto P. Poi iniziano a scivolare tutte contemporaneamente, sotto l'azione della forza di gravità.
-Quale figura formano in aria le perline?

[carol]

In funzione dell'angolo x che avevo considerato io compreso fra 0 e lo spazio percorso dalla perlina x è all'istante t e quindi il profilo mi pare una cosinusoide con ampiezza massima sulla verticale per dove ovviamente l'accelerazione è massima ed uguale a g ed ampiezza minima sulla perpendicolare al piano inclinato dove l'accelerazione è minima ed uguale a .(Per i motivi detti nel post precedente non considererei x esterno ad ). La distanza che la perlina x deve percorrere per arrivare sul piano inclinato è . Se si va a trovare il valore minimo della differenza fra la distanza da percorrere e quella percorsa si trova che è quella della perlina sulla bisettrice che quindi giungerà per prima su tale piano. Non so se intendevi questo. Sennò continuerò a pensarci perchè il prof ci dice sempre che trovare un'ulteriore soluzione è quasi più importante che risolvere un problema...

[Gamow00]

No non intendevo questo. Prova a immaginare di far partire nello stesso momento infinite perline che partono da P e scorrono ognuna lungo un filo rettilineo. Immagina poi di fare una foto delle perline che scorrono.
Che figura vedrai nella fotografia?

[carol]

Si dimostra che la figura è una circonferenza tangente in P all'orizzontale. Istituito un sistema di coordinate P(x,y) io l'ho dimostrato con il parametro formato dalla semiretta e relativa perlina con la verticale per P. Il diametro della circonferenza istantanea è il percorso effettuato dalla perlina verticale che viaggia ad accelerazione g cioè mentre la perlina a viaggia a . Eliminando il parametro l'equazione della circonferenza mi risulterebbe avente centro e raggio uguale a metà percorso della perlina verticale. Per si considera la perlina che viaggia sulla bisettrice dell'angolo . Essendo un angolo alla circonferenza il relativo angolo al centro è ed il raggio che lo forma è palesemente perpendicolare al piano inclinato. Quindi la perlina sulla bisettrice occupa il punto che per primo giungerà sul piano inclinato perchè la circonferenza sarà tangente al piano inclinato in quel punto:D
Ho indugiato perchè dal tuo suggerimento avevo capito che si dovesse vederlo immediatamente senza dimostrarlo. Almeno a me non è riuscito

[Gamow00]

Esatto soluzione perfetta.
Secondo me é interessante vedere il problema in questo modo.