Rispondo ora al primo quesito.
Numero i mattoni a partire da 1 dal basso verso l'alto.
Sia ora
la distanza tra l'estremo sinistro del mattone n-esimo e l'estremo sinistro del mattone (n+1)-esimo.
Avendo 20 mattoni, il mio n andrà da 1 a 19. Sia L la lunghezza di un mattone.
Noto subito (facendo un elementare disegno della situazione), che per calcolare la sporgenza massima del mattone più a destra rispetto a quello più in basso devo massimizzare la somma delle distanze
, che equivale alla sporgenza richiesta.
Ricordo ora la seguente "legge" fisica: quando impilo dei mattoni, la proiezione verticale del baricentro di tutto il sistema eccetto il mattone più in basso deve giacere all'interno o sul bordo del mattone più in basso. Per convincersene basta analizzare il sistema dato da due mattoni impilati: la distanza d in questo caso potrà essere pari al massimo a L/2.
Matematicamente questo si traduce nel seguente enunciato: quando analizzo i mattoni dal 20-esimo all'n-esimo, la media delle coordinate orizzontali dei centri di questi mattoni deve essere minore o uguale alla coordinata orizzontale dell'estremo destro del mattone (n-1)-esimo.
Noto subito (facendo un elementare disegno della situazione), che nel sistema di riferimento centrato sull'estremo sinistro del mattone (n-1)-esimo, tale condizione si esprime come
, dove l'uguaglianza è data dalla necessità di massimizzare la somma di tutte le distanze, come richiesto dalla traccia.
Scrivendo tale condizione per il mattoni 20-esimo e per i mattoni dal 20-esimo al 19-esimo, dal 20-esimo al 18-esimo, e così via, arrivo al sistema lineare:
e così via...
Risolvendo il sistema partendo dall'equazione più in alto e andando man mano scendendo (per sostituzione) si trova:
,
,
, e così via...
Allora
, da cui
.
la sporgenza massima è allora