114. Relatività ristretta

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step98
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114. Relatività ristretta

Messaggio da step98 » 23 gen 2017, 20:22

Visto che quasi mai, nella staffetta, vengono proposti problemi riguardanti questa bellissima teoria, ne propongo uno io:
un lungo carrello si muove a velocità relativistica nel sistema solidale con il terreno. In esso viene lasciata cadere della sabbia ad un ritmo nel sistema . Assumendo che una persona, solidale con il terreno, si trovi nel punto in cui viene lasciata cadere la sabbia e spinga il carrello in modo da mantenerlo in moto a velocità costante , calcolare la forza che il terreno esercita sui piedi della persona sia in che in , ovvero nel sistema solidale con il carrello, e mostrare che il valore calcolato nei due sistemi è lo stesso, come è giusto che sia per forze che agiscono parallelamente alla direzione del moto relativo tra i due sistemi.
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guido
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Re: 114. Relatività ristretta

Messaggio da guido » 5 feb 2017, 16:22

Visto che è domenica ho ripreso gli appunti dell'anno scorso quando il professore ci ha fatto un pò di relatività. :roll: :roll:
Ci capisco il giusto ma provo anche perchè nessuno risponde. S vede una variazione di quantità di moto per unità di tempo (forza F necessaria a produrla spingendo il carrello perchè v non diminuisca, che S si preocura spingendo il terreno con le scarpe in senso opposto) uguale a . S' vede passare S, la sabbia gettata e il terreno con velocità -v per cui la massa di sabbia dm diventa per lui dm'>dm per dt'>dt perchè per lui è S che ha tempi minori. In conclusione dm'/dt'=dm/dt e osserva una identica var. di qdm per unità di tempo cioè che, immagina, S si sia procurato dal terreno per impedire che lui, imbarcando quella qdm, cominci a muoversi dietro a S: ecco come spiega che S spinga il carrello correndo sul terreno in direzione opposta al moto del terreno per stare fermo con S'. :!:
Il dettaglio del procedimento solo se il risultato e il ragionamento fossero giusti :?: :?: :?:

step98
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Re: 114. Relatività ristretta

Messaggio da step98 » 6 feb 2017, 15:47

No, non ci sei. Due suggerimenti:
1) la quantità di moto relativistica è , e non
2) non è lo stesso nei due sistemi di riferimento

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Re: 114. Relatività ristretta

Messaggio da guido » 7 feb 2017, 12:01

Ti prego di leggere solo il mio successivo delle 11.34 nella fretta a scuola ho sbagliato



In effetti immaginavo di aver toppato :roll: :roll: . Ci ripenserò mentre qualche altro può dare la soluzione di cui sono curioso come delle cose che non si sanno maneggiare.
Sul punto 2 però io avevo ragionato così. Come dici in S è dm/dt. Ora la massa dm arriva su S', che crede di essere fermo, alla velocità -v. Pertanto secondo lui è . Il tempo dt di S appare maggiore a S' perchè per lui è S che si muove a vel. -v. Ed è . Ecco perchè penso che dm/dt=dm'/dt'.
Ti prego di dirmi dove sbaglio: forse non è vero che S' vede S a -v :?: :?:
Ultima modifica di guido il 7 feb 2017, 18:36, modificato 1 volta in totale.

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Re: 114. Relatività ristretta

Messaggio da guido » 7 feb 2017, 12:34

In effetti immaginavo di aver toppato :roll: :roll:
Siccome però immaginavo che, trattandosi di un carrello (v/c<<1), la qdm fosse approssimabile dalla sua espressione classica così come la II legge della dinamica di Newton fosse adeguata. Evidentemente non è così. Ci ripenserò mentre qualche altro può dare la soluzione di cui sono curioso come delle cose che non si sanno maneggiare.
Sul punto 2 però mi pareva di aver ragionato "relativisticamente". Come dici in S è dm/dt. Ora la massa dm arriva su S', che crede di essere fermo, alla velocità -v. Pertanto secondo lui è . Il tempo dt di S appare maggiore a S' perchè per lui è S che si muove a vel. -v. Ed è . Ecco perchè pensavo che dm/dt=dm'/dt'.
Ti prego di dirmi dove ho sbagliato: forse non è vero che S' vede S a -v :?: :?:

step98
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Re: 114. Relatività ristretta

Messaggio da step98 » 7 feb 2017, 22:27

Innanzitutto mi scuso per l'imprecisione nel testo, parlando di relatività avevo dato per scontato che fosse una velocità relativistica, però in effetti andava specificato nel testo, e infatti ora ho modificato. Per quanto riguarda i tempi il ragionamento è giusto, quindi mi limito solo a fare qualche precisazione per gli altri che leggeranno i vari post: i due eventi che stiamo considerando, visto che vogliamo calcolare la forza, sono quello in cui la massa arriva a contatto con il carrello e quello in cui carrello e massa raggiungono la stessa velocità. Questi due eventi avvengono nello stesso punto dello spazio in S, perché, trattandosi di una massa infinitesima, questa raggiungerà la velocità in un tempo infinitesimo, è poiché la velocità iniziale era nulla, percorrerà uno spazio nullo. Di conseguenza S misura il tempo proprio tra i due eventi, ed S' quello dilatato, che come ha scritto Guido é .
Per quanto riguarda le masse, ora ho capito qual è il tuo ragionamento: non c'è niente di sbagliato in quello che dici, ma quella che tu chiami è la massa relativistica, , che in realtà è poco utile in questo problema ed è poco utilizzata in generale, perché si preferisce parlare di massa propria. In pratica se ragioni in termini di invece che di , alla fine otterrai, all'interno della soluzione, , che per quanto abbiamo detto finora è uguale a .
Ora ti do un suggerimento: quando la massa arriva sul carrello, nel frattempo che prende la velocità , si sviluppa calore, e la massa ed il calore, in relatività, sono entrambi forme di massa-energia, quindi dopo l'urto la massa (inerzia) del sistema carrello+massa non sarà la somma delle masse a riposo, ma sarà un po' di più, proprio per via di questo calore. Tutto ciò perché il punto è che in meccanica newtoniana per risolvere questo problema utilizzi conservazione della quantità di moto e conservazione della massa, e non ti interessa il fatto che l'attrito disperda energia sotto forma di calore, ma in relatività il principio di conservazione della massa non esiste, esiste solo il principio di conservazione della massa-energia, quindi devi considerare anche il bilancio energetico del sistema per risolvere questo problema.

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Re: 114. Relatività ristretta

Messaggio da guido » 8 feb 2017, 17:57

step98 ha scritto:Per quanto riguarda le masse, ora ho capito qual è il tuo ragionamento: non c'è niente di sbagliato in quello che dici, ma quella che tu chiami è la massa relativistica, , che in realtà è poco utile in questo problema ed è poco utilizzata in generale, perché si preferisce parlare di massa propria. In pratica se ragioni in termini di invece che di , alla fine otterrai, all'interno della soluzione, , che per quanto abbiamo detto finora è uguale a .
Non capisco perchè non è utile dm' poichè se è vero come dici essendo si poteva dire come sappiamo :!: Fra l'altro per non confondermi la massa "propria" è quella "a riposo"?
step98 ha scritto:Ora ti do un suggerimento: quando la massa arriva sul carrello, nel frattempo che prende la velocità , si sviluppa calore, e la massa ed il calore, in relatività, sono entrambi forme di massa-energia, quindi dopo l'urto la massa (inerzia) del sistema carrello+massa non sarà la somma delle masse a riposo, ma sarà un po' di più, proprio per via di questo calore. Tutto ciò perché il punto è che in meccanica newtoniana per risolvere questo problema utilizzi conservazione della quantità di moto e conservazione della massa, e non ti interessa il fatto che l'attrito disperda energia sotto forma di calore, ma in relatività il principio di conservazione della massa non esiste, esiste solo il principio di conservazione della massa-energia, quindi devi considerare anche il bilancio energetico del sistema per risolvere questo problema.
Provo a ragionare essendo a disagio. L'energia totale della sabbia su S dovrebbe essere mentre a regime su S' dovrebbe essere . La differenza fra queste energie totali dovrebbe essere l'energia cinetica della sabbia a regime. In realtà S ha speso più di questa differenza spingendo perchè c'è stata la dissipazione da urto. E' questa l'equivalente della massa in più? Per ora non vedo come riuscire a valutarla. Inoltre la forza richiesta dovrà essere che dovrà coincidere per S e S'??? Vedi tu quello che puoi o non puoi suggerirmi :?: :?:

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Re: 114. Relatività ristretta

Messaggio da step98 » 8 feb 2017, 23:05

Allora per quanto riguarda la massa propria, come hai giustamente scritto, intendevo quella a riposo, ma non è che non puoi usare quella relativistica per fare questo problema, è che oggi si tende a parlare sempre di massa a riposo, la massa relativistica era utilizzata soprattutto in passato.
Per quanto riguarda il problema, è vero che ti chiede di fare il calcolo in entrambi i sistemi di riferimento, e mostrare che il risultato è lo stesso, ma in S' è tutto molto più complicato, quindi ti consiglio di lasciar perdere S' per adesso e concentrarti solo su S. Poi quando avrai ottenuto il risultato giusto in questo sistema potrai cimentarti con S'. Per risolvere in S le due equazioni da considerare, come ho scritto nel post precedente, sono conservazione dell'energia e della quantità di moto (tenendo conto che c'è una forza esterna al sistema, quella che devi calcolare, che fa variare la quantità di moto ed anche l'energia, dato che compie lavoro). Il problema principale è che devi capire quali sono le incognite, e qui potrebbe esserti utile il suggerimento: una, come puoi immaginare, è la forza, l'altra è proprio la variazione di massa dovuta al calore.

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Re: 114. Relatività ristretta

Messaggio da guido » 10 feb 2017, 18:19

Cerco di essere didascalico in modo che tu possa vedere più facilmente se e dove sbaglio :roll:
A me viene di indicare come incognite la forza F esercitata da S affinchè il carrello non perda qdm quando viene caricato di sabbia e (in analogia con il testo che suggerisce il ritmo di carico) il ritmo di carico della massa aggiuntiva, che non può che essere infinitesima dello stesso ordine di dm, cioè. Se per avremo e dunque

dato che S carica entrambe e F deve compiere il lavoro di mantenimento di V nonostante che entrambe siano state caricate. Però hanno un diverso esito perchè dm acquista energia cinetica mentre letteralmente dovrebbe scomparire per far comparire al suo posto il calore dovuto all'impatto con il carrello di tutta la sabbia per prendere la velocità V(calore che si disperde nell'ambiente e quindi da sottrarre). Per cui dal punto di vista energetico la conservazione massa-energia imporrebbe che la potenza su S vista da S equivalesse alla potenza su S' vista da S
cioè

da cui e sostituendo si ha la forza che deve esercitare S
:?: :?: :!:
Si può notare che per ritorna il risultato che avevo dato prima che tu cambiassi il testo. :D

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Re: 114. Relatività ristretta

Messaggio da step98 » 17 feb 2017, 16:19

Innanzitutto mi scuso per il ritardo di ben 7 giorni nella risposta, ma purtroppo mi è venuto un dubbio abbastanza insidioso sulla risposta e quindi non potevo rispondere non essendo più certo di quello che dovevo scrivere. Comunque ora ho risolto, e il dubbio, in ogni caso, riguardava la risoluzione del problema in S', e dunque non invalida niente di quello che ho scritto in precedenza.
guido ha scritto:Cerco di essere didascalico in modo che tu possa vedere più facilmente se e dove sbaglio :roll:
A me viene di indicare come incognite la forza F esercitata da S affinchè il carrello non perda qdm quando viene caricato di sabbia e (in analogia con il testo che suggerisce il ritmo di carico) il ritmo di carico della massa aggiuntiva, che non può che essere infinitesima dello stesso ordine di dm, cioè. Se per avremo e dunque
Fin qui è perfetto.
guido ha scritto:Però hanno un diverso esito perchè dm acquista energia cinetica mentre letteralmente dovrebbe scomparire per far comparire al suo posto il calore dovuto all'impatto con il carrello di tutta la sabbia per prendere la velocità V(calore che si disperde nell'ambiente e quindi da sottrarre).
Qui c'è qualche problema: è giusto quello che hai detto su , cioè la sua variazione di energia è dovuta all'acquisizione di energia cinetica, ma è sbagliato quello che hai detto su . L'energia che viene sviluppata per attrito viene dissipata nell'ambiente al massimo negli istanti successivi, ma nel momento in cui viene generata è accumulata sul blocchetto infinitesimo di massa e sul carrello. Inoltre non è che la massa si trasforma in energia: si parla di massa-energia perché l'energia termica sviluppata dall'attrito si comporta contemporaneamente anche come massa, cioè come inerzia, quindi la variazione di energia è dovuta sia alla massa-energia a riposo di questo calore sia alla sua energia cinetica (ovviamente per come hai scritto la forza deve essere, per te, l'aumento di massa-energia a riposo, il che è conveniente nella risoluzione del problema).
guido ha scritto:Per cui dal punto di vista energetico la conservazione massa-energia imporrebbe che la potenza su S vista da S equivalesse alla potenza su S' vista da S
Questo non l'ho capito molto, me lo dovresti spiegare più in dettaglio, soprattutto perché non capisco cosa intendi quando parli di "potenza su S" o "potenza su S'": io con S ed S' ho indicato i sistemi di riferimento, ma non ha senso parlare di potenza su un sistema di riferimento, quindi deduco che con le stesse lettere stai indicando anche qualcos'altro, ma dovresti precisare cosa, altrimenti non riesco a seguire bene il tuo ragionamento.
guido ha scritto:
Qui se ho capito bene stai dicendo che l'energia a riposo totale è uguale all'energia totale di meno l'energia totale dovuta a : l'errore rientra in quello che ho scritto prima, e cioè che il calore non viene dissipato.
Nell'equazione corretta ti dovrebbero venir fuori, invece, sia che , e la dovresti mettere a sistema con quella che hai scritto prima per la forza.
Oppure, solo per il calcolo di , potresti vedere il tutto da S'.

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