111. Sale o non sale? Questo è il dilemma

[Flaffo]

Un'asta sottile di densità non necessariamente uniforme è sospesa alle estremità da due fili. Se un filo è tagliato, l'estremità opposta sale o scende nell'istante immediatamente successivo?

Corto ma bello

[guido]

Visto che nessuno ci prova non mi posso esentare dal dire qualche sciocchezza (c....a) sul tipico problemino di Flaffo
Secondo me intanto l'estremità non può scendere se il filo è inestensibile. Un attimo dopo il taglio l'asta è come un pendolo composto su cui agiscono due forze: il peso applicato ad un punto qualsiasi dell'asta (certo, non è necessario che sia il punto medio) e la tensione del filo integro, forze che sono parallelefra loro. Rispetto al punto di sospensione il momento della tensione è nullo mentre quello del peso induce una rotazione (ed un abbassamento)del cdm, rotazione che nell'attimo iniziale è attorno all'estremità che quindi non sale nè scende. Quest'ultima perciò può salire solo quando ruota attorno al punto di sospensione perchè nella posizione di partenza è nel punto più basso rispetto ad esso

[Flaffo]

Inzio col dire che la conclusione a cui giungi (sale) è giusta. In un problema così, dove ovviamente ci sono solo due risposte possibili, però, non basta solo il risultato. Primo, anche se il filo è inestensibile, vuoi vedere se subito dopo il taglio l'altra estremità si muove su o giù, cioè se la sua accelerazione è diretta verso l'alto o verso il basso. Se poi effettivamente può andare in alto o in basso non ci interessa perché , quindi idealmente non percorre uno spazio. Secondo, l'asta ruota attorno al centro di massa e non attorno all'estemità con ancora il filo (che infatti si potrà muovere), quindi non puoi considerare i momenti rispetto a quel punto (puoi scegliere un punto qualsiasi solo se è in equilibrio). Quindi ,a prima vista, ti interessa la posizione del centro di massa, e dovrai allora dimostrare che dovunque sia, l'altra estemità salga sempre.

[Bombadillo]

Saluto tutti dalla Terra di Mezzo e compaio anch'io a dire caga... sì, insomma.
Non vorrei ripetere per sbaglio esattamente quello che ha detto guido, però mi pare che all'incirca la risposta sia quella. Al momento della rottura sull'asta agisce la forza peso nel centro di massa e la tensione all'estremità. Visto che il centro di massa sicuramente non si trova all'estremità vi sarà un punto compreso tra l'estremità e il cdm attorno a cui l'asta ruoterà. E' chiaro che la rotazione porterà quindi l'estremità ad alzarsi rispetto a questo punto.
O sbaglio ed ho semplificato troppo?

[guido]

Secondo, l'asta ruota attorno al centro di massa e non attorno all'estemità con ancora il filo (che infatti si potrà muovere), quindi non puoi considerare i momenti rispetto a quel punto (puoi scegliere un punto qualsiasi solo se è in equilibrio). Quindi ,a prima vista, ti interessa la posizione del centro di massa, e dovrai allora dimostrare che dovunque sia, l'altra estemità salga sempre.

Io ho preso per riferimento il punto di sospensione che è fisso e non ci piove. Il cdm soggetto al peso ovunque sia, ovvero ad un momento non nullo rispetto al punto di sospensione, ruota rispetto a questo punto trascinando anche l'estremità che NON PUO' DISCENDERE e quindi se tende a muoversi accelera verso l'alto. Io la vedo così.

[Flaffo]

Per Bombadillo e Guido : l'asta ruota attorno al suo centro di massa, e non rispetto ad un punto intermedio o rispettoa all'estremità . Provate a riformulare il vostro ragionamento partendo da questo presupposto.
Bisognerà capire, all'estremità dell'asta, quale effetto vince: l'accelerazione g con cui cade tutto il corpo o l'accelerazione dovuta alla rotazione dell'asta intorno al centro di massa, diretta in senso opposto. Poi generalizzate per qualsiasi posizione del CM

[guido]

Flaffo, ti prego di avere la pazienza di CONTESTARE il seguente ragionamento, tenendo conto che quando dici che ruota attorno al cdm dipende solo dal fatto che metti il riferimento nel cdm e che quindi si potrebbe sostenere altrettanto che è il cdm che ruota attorno all'estremità riferendosi a quest'ultima. Grazie.

1) il cdm ovunque sia si muove verso il basso partendo dalla stessa quota dell'estremità in direzione perpendicolare all'asta 2) durante il suo moto deve mantenere questa distanza dall'estremità 3) la sua verticale durante il moto si avvicina a quella dell'estremità 4) finchè si trova sulla stessa verticale dell'estremità sotto l'estremità alla stessa distanza da questa 5) questa si chiama rotazione di 1/4 di circonferenza attorno all'estremità 6) durante questa rotazione aumenta la frazione di peso che grava sull'estremità (che è inversamente proporzionale alla distanza fra le due verticali ) finchè alla fine ci grava tutta la forza peso 7)conseguentemente la tensione del filo verso l'alto aumenta fino a raggiungere il peso.
Conclusione: Non ci sono ragioni perchè salga all'istante successivo (bada bene tu chiedi se sale cioè se si SPOSTA): ribadisco la risposta data nel primo post: NON SALE NE' SCENDE. C'è un continuo adeguamento della tensione verso l'alto per mantenere la sua accelerazione nulla e quindi per tenere ferma l'estremità.

[Flaffo]

La falla principalmente tuo ragionamento è che dici che puoi considerare la rorotazione attorno l'estremità poiché questa sta ferma, e argomentando giungi alla conclusione che è ferma

Semplifica il problema con il centro di massa esattamente al centro. Calcola l'accelerazione tangenziale all'estremità e paragonala con l'accelerazione g con cui cade tutto il corpo. Posta l soluzione per questo caso intanto....

[CaptainJohnCabot]

Non ci sono ragioni perchè salga all'istante successivo (bada bene tu chiedi se sale cioè se si SPOSTA): ribadisco la risposta data nel primo post: NON SALE NE' SCENDE. C'è un continuo adeguamento della tensione verso l'alto per mantenere la sua accelerazione nulla e quindi per tenere ferma l'estremità.

Per quanto non ci abbia dedicato moltissimo tempo questa volta mi trovo d'accordo con guido. Almeno intuitivamente secondo me l'estremità sale solo se il filo non è attaccato ad essa. Infatti io avrei considerato come punto 'più stabile' quello in cui è attaccato il filo, che si comporta come una specie di vincolo impedendo la rotazione 'regolare' attorno al CDM. Metto le virgolette perché con questi problemi è quasi impossibile dire qualcosa senza sparare cavolate immani

Semplifica il problema con il centro di massa esattamente al centro. Calcola l'accelerazione tangenziale all'estremità e paragonala con l'accelerazione g con cui cade tutto il corpo. Posta l soluzione per questo caso intanto....

Tanto per la cronaca avevo tentato anche questo approccio per analogia al problema 99, molto simile per genere a questo. Ripeto che l'ho fatto abbastanza in fretta quindi sicuramente sarà sbagliato, ma lo posterei comunque, casomai possa essere di qualche utilità.

Si calcolano le accelerazioni , quella verticale, e , quella rotazionale. Si ha:
e
Dove è la tensione del filo, il momento d'inerzia del corpo e la distanza tra l'estremità e il CDM. Se il corpo sale si dovrà avere dato che sono rivolte in versi opposte, allora:

E può essere scritta anche come:


Ora come dice guido la tensione varia però ad un tempo dall'inizio del moto forse si potrebbe considerare uguale a quella della condizione iniziale (non saprei come proseguire altrimenti ), ovvero, dalla condizione di equilibrio del corpo rigido:

Sostituendo:

Che dovrebbe essere la condizione che si cercava, peccato che non risulti verificata per alcuni casi come .
Alternativamente scrivendo le accelerazioni in funzione della tensione sull'altro filo (non so quanto sia lecito ) si dovrebbe giungere alla condizione equivalente (e più semplice!):
; che non è comunque verificata per
Boh vedete se riuscite a trovare l'errore, sarà qualche distrazione sulle accelerazioni probabilmente, o magari è proprio tutto il ragionamento che è ontologicamente sbagliato

[Flaffo]

calcolano le accelerazioni a_t, quella verticale, e a_r, quella rotazionale. Si ha:

Dove T è la tensione del filo, I il momento d'inerzia del corpo e a la distanza tra l'estremità e il CDM. Se il corpo sale si dovrà avere dato che sono rivolte in versi opposte, allora:

E può essere scritta anche come:


Ora come dice guido la tensione varia però ad un tempo \delta t dall'inizio del moto forse si potrebbe considerare uguale a quella della condizione iniziale (non saprei come proseguire altrimenti ), ovvero, dalla condizione di equilibrio del corpo rigido:

Per CaptainJohnCabot: la prima parte è giusta. Prova ad isolare dalla relazione che hai ottenuto , il momento di inerzia. Allora ti risulta:



Se questa condizione è soddisfatta, allora l'estremità salirà. Puoi notare, per esempio, che se allora e abbiamo:



Verificata.

Ora prova a dimostrare questo per tutti i valori che può assumere .. (la cosa più complicata, ma nemmeno, del problema potrebbe essere questa)