110 - cilindro in rotazione

[guido]

Un recipiente cilindrico di raggio e altezza è riempito di acqua fino ad una altezza . Viene posto in rotazione attorno al proprio asse verticale alla massima velocità di rotazione senza che si abbia fuoriuscita di acqua dal cilindro. Considerato un riferimento con origine nel centro della base di appoggio del cilindro con asse verticale , determinare l'equazione della sezione verticale della superficie libera dell'acqua in funzione della minima distanza di questa superficie dalla base e calcolare il valore di .

Domanda bonus: determinare d in funzione di h ed l

[FedericoC.]

Considerando un'area infinitesima della superficie del fluido, dall'equilibrio delle forze o alternativamente tramite il teorema di Bernoulli:



Dalla legge di Stevin:

Sostituendo e integrando, con la costante pari a mi risulta la parabola:

Si ottiene dunque:

[guido]

A parte il procedimento che dovresti chiarire meglio( dA non è perpendicolare a dx se capisco bene) per la prima risposta c'è da dire che tu risolvi un caso che non è quello del problema. Ti dice nulla che non usi né l né h né r? Poi la velocità angolare deve essere la max che non lo fa traboccare. Come fa a dipendere da x e y e non da l e r?

[Flaffo]

Partiamo dal fatto che la superficie dell'acqua deve essere equipotenziale, altrimetti non zarebbe in equilibrio . L'energia potenziale dovuta al cilindro che ruota può essere calcolata integrando la forza per lo spostamento. Otteniamo allora, come ci si aspetterebbe in un sistema conservativo, che l'energia potenziale 'rotazionale' è l'opposto di quella cinetica (che conosciamo):



L'energia potenziale totale è la somma di quella rotazione e quella gravitazionale, e come abbiamo detto, deve essere una costante per la superficie dell'acqua.



Prendiamo ora un cilindro sottile assiale a quello principale ed un altro cilindro lontano dal precedente. Scriviamo la legge conservativa notato che tuttavia In quanto proporzionale a e . Svolgendo I calcoli otteniamo:



E integrando otteniamo la funzione che descrive la superficie dell'acqua sul piano:



Calcoliamo la costante di integrazione eguagliando il volume della parabola di rotazione al volume originario dell'acqua, sperando di non aver versato fuori alcuna goccia



Integrando otteniamo:



Isolando C :



e sostituendo nell'equazione della parabola:



Che è ciò che volevamo ottenere.
Per calcolare , diciamo che
Da cui otteniamo:




Questo, tuttavia, vale solo per , cioè per:



Altrimenti penso non si formerebbe alcuna superficie 'studiabile'

[guido]

Per Flaffo: la tua impostazione è assolutamente corretta, sia nel richiedere la costanza dell'energia potenziale totale sia nell'imporre che il volume delimitato dal paraboloide sia quello iniziale anche se tu ci metti un 2 . Però poi, se non ho capito male, i risultati non tornano e non riesco a trovare perchè. Non mi torna come calcoli il volume determinato dal paraboloide con quell'integrale fra a e b Io farei il volume del cilindro di altezza l meno quello di rotazione generato dalla parabola fra d e l ricavando y in funz. di . Infatti converrai che nell'eq. della parabola deve poi essere che non mi pare discenda dalla tua. Inoltre in mi risulterebbe un d al posto di h. Sono comunque convinto che riuscirai a emendare (se non ho capito male io quello che hai scritto) e quindi vi propongo anche la domanda bonus integrando il testo iniziale.

[Flaffo]

La costante di integrazione sarebbe appunto . Se infatti nella prima eq. Che ho scritto poni x=0, trovi . Pensando che non sarebbe stato bello esprimere l'equazione della parabola in funzione di una apparentemente scollegata dai dati, me la sono subito calcolata in funzione di e facendo già ciò che richiedi nel bonus. Nell'equazione finale ho quindi espresso l'equazione della parabola come:



Dove

E per hai

Come ci si aspetterebbe. Where is the problem?

[FedericoC.]

Rispondo anche se Flaffo ha già postato la sua soluzione per capire dove ho sbagliato, dato che i due metodi sono completamente diversi.
Per quanto riguarda la prima parte probabilmente ho lasciato un po' (troppe) cose per scontato. Dopo aver considerato un area infinitesima sulla superficie, mi interessa l'equilibrio su una massa infinitesima di fluido che ho scritto direttamente . Quel quindi è l'area verticale, parallela al piano che mi determina la massa differenziale, che è la stessa area efficace per la pressione a esercitare una forza radiale.
Dall'equilibrio, o come ho detto tramite il teorema di Bernoulli, mi risulta la parabola .
Sopra ho messo perchè mi ero perso per strada il fatto che questa fosse la velocità massima per non far traboccare l'acqua dal cilindro, per questo ho trovato in quel modo. Basta sostituire nella formula il punto che indica il limite dopo il quale l'acqua fuoriesce. Si ottiene dunque: .

[guido]

La costante di integrazione sarebbe appunto . Se infatti nella prima eq. Che ho scritto poni x=0, trovi . Pensando che non sarebbe stato bello esprimere l'equazione della parabola in funzione di una apparentemente scollegata dai dati,[/tex]

Scusa ma il testo chiedeva proprio di esprimere la parabola in funzione di d. Inoltre la tua parabola non è giusta perchè per x=r y=l e a te non mi sembra che risulti. Inoltre non vedo nè hai risposto alla domanda bonus: questioni che si risolvono imponendo, come avevi impostato, l'uguaglianza dei volumi. Dov'è quest'uguaglianza? E allora: where is the answer?

[guido]

Per Federico: Tu dai una soluzione geometrica e non fisica per cui in realtà non rispondi al problema. In poche parole scrivi l'equazione di una parabola che è individuata da 3 punti com'è ben noto e imponi quel valore di . Ma è determinato si dal fatto che per x=r deve essere y=l ma con quella certa quantità di liquido che a te sfugge completamente. Il volume delimitato dal paraboloide deve essere uguale a e da ciò discendono sia la finale equazione della parabola sia il corretto valore di . Poi è facile rispondere anche alla bonus.

[Flaffo]

Avevo già scritto l'equazione della parabola in funzione di e che, mi scuso, ho chiamato semplicemente

Svolgendo I calcoli otteniamo:



E integrando otteniamo la funzione che descrive la superficie dell'acqua sul piano:

Ecco l'uguaglianza dei volumi, per calcolare

Calcoliamo la costante di integrazione eguagliando il volume della parabola di rotazione al volume originario dell'acqua, sperando di non aver versato fuori alcuna goccia



Integrando otteniamo:

E

Per calcolare , diciamo che
Da cui otteniamo:

Forse la vuoi in funzione di ?

Bho poi mi sembra che l'equazione abbia senso. Forse non ho capito la tua osservazione