109. Satellite

Ciccio98 · Messaggio da **Ciccio98** » 3 dic 2016, 21:26

Il satellite aumenta la sua velocità perché avvicinandosi alla Terra aumenta secondo la legge che avevo scritto nel terzo punto. Dopo aver detto questo so che l'accelerazione deve essere necessariamente positiva. Adesso, la forza centripeta non può certamente cambiare il modulo della velocità ma solo la direzione, quindi l'unica altra forza deve essere necessariamente la forza di attrito e poi usare semplicemente il secondo principio della dinamica. Forse prima mi sono espresso male nel dire che l'accelerazione tangenziale era uguale a zero.

guido · Messaggio da **guido** » 4 dic 2016, 12:22

A Flaffo: si,si ti avevo già proposto di dare il testimone a Ciccio. Come commento al testo di questo problema intrigante volevo però osservare che mi ha lasciato un pò insoddisfatto il fatto che enfatizza il ruolo dell'attrito atmosferico fino alla distruzione del satellite (anche tu parli giustamente di moto spiraliforme) ma in media bisogna ragionare come se fosse circolare uniforme e l'attrito succhiasse energia. Ma se succhia energia non può essere più circolare uniforme. Certo uno può dire che l'attrito è scarsissimo negli strati alti dell'atmosfera ma noi diamo la soluzione anche per quando successivamente non è più cosi. E quindi non mi soddisfa di impostare la soluzione generale sul moto circolare uniforme come abbiamo fatto.

Flaffo · Messaggio da **Flaffo** » 4 dic 2016, 13:31

Io non saprei come altro fare.. chiedo ai più esperti (Pigkappa e altri..) il loro parere

Messaggio da **Pigkappa** » 4 dic 2016, 14:32

Sorry non ho seguito la discussione e non so se posso aiutarvi :p

guido · Messaggio da **guido** » 5 dic 2016, 18:28

per Flaffo: siccome a noi non frega niente di dare il risultato giusto ma di imparare per il test sns (almeno io..)vorrei quantificare a te la mia insoddisfazione a prescindere da Pigkappa che giustamente non ci può sempre seguire. Ammettiamo che il risultato sia giusto (l'avrai preso da un libro suppongo) allora abbiamo $\frac{dv}{dt}= k\rho.v^2$ . Se $v_0$ è la velocità iniziale diciamo del moto circ. unif. e v è la velocità ad un generico t successivo, con un integrale più semplice di parecchi liceali si trova $\frac{1}{v_0}-\frac{1}{v}=k\rho.t$ da cui emerge come c'era da aspettarsi che $v>v_0$ tranne che all'inizio quando la uguaglia. Ricavando v si ha $v= \frac{v_0}{1-v_0.k\rho.t}$ . Ora uno potrebbe dire: allora per t tendente infinito v tende a zero. No! Il tempo deve essere limitato perchè v >0 e dunque $t<\frac{1}{v_0k\rho}$ . Ma che senso ha? Abbiamo trovato una soluzione a validità limitata?

Oppure queste approssimazioni tipo IPHO (è spiraliforme però si finge che sia circolare) generano contraddizioni

Ovviamente continuerò a pensarci però te lo volevo dire a costo di romperti e parecchio...mi dispiace

!!!

Flaffo · Messaggio da **Flaffo** » 5 dic 2016, 19:35

La nostra approssimazione vale infatti per:

$t < \frac {m}{\rho k v_0}$

Notare, però, che l'aprossimazione diventa eccellente per $\rho \rightarrow 0$ . In questa situazione il tempo $t \rightarrow \infty$ , proprio come ci si aspetterebbe. In particolare per $k=0$ smette di essere un approssimazione e corrisponde alla realtà (il tempo può assumere qualsiasi valore).

Comunque penso che l'approssimazione di orbita circolare ci stia in quanto possiamo immaginare il problema nel seguente modo. Al tempo $t$ il satellite non subisce alcuna forza di attrito, l'orbita è circolare. Per un tempo $dt$ Il satellite è sottoposto ad attrito. Subito dopo, l'attrito cessa di esistere. Possiamo allora prendere la differenza tra lo stato iniziale e finale in cui il satellite si trova, in entrambi i casi, in orbita circolare. Il realtà la seconda orbita, tende ad essere circolare per $dt$ uguale al tempo di un'intera orbita e per $\rho$ piccole, cosicché il satellite perda energia uniformemente. Ciò equivale a dire che la $v$ del satellite non aumenta in maniera significativa durante una sola orbita. Usando i dati del problema, ad esempio:
$\Delta v_{1 orbita} = v_0 \frac {r}{2R}$

Ordine di grandezza $\Delta v_{1 orbita }= 10^{-5} m/s$

In ogni caso, vorrei aggiungere, l'espressione per l'energia totale vale ancora nello stato iniziale e finale. Al posto di $r$ (raggio orbita circolare), metti $a$ (semiasse maggiore dell'orbita). Il resto (dire che U= 2E = -2K ) sono necessarie approssimazioni

Messaggio da **Pigkappa** » 5 dic 2016, 19:43

(nota: Flaffo ha risposto mentre scrivevo per cui non ho risposto al suo messaggio qua)

Ho dato un'occhiata alla discussione e mi e' sembrato abbiate detto tutte (o quasi) cose condivisibili ma per qualche motivo alla fine vi hanno attanagliato i dubbi. Il problema e' famosissimo e la soluzione standard e' quella con l'energia. Si trova che il raggio dell'orbita diminuisce e la velocita' aumenta.

Sembra che guido voglia risolvere il problema senza fare l'approssimazione di orbita quasi circolare. Puo' essere un esercizio interessante; ho un presentimento che non si possa fare del tutto analiticamente ma se avete un minimo di esperienza con Mathematica o Matlab, potreste farlo numericamente (e se l'esperienza non ce l'avete, non e' impossibile arrivarci lo stesso).

guido ha scritto:Ricavando v si ha $v= \frac{v_0}{1-v_0.k\rho.t}$ . Ora uno potrebbe dire: allora per t tendente infinito v tende a zero. No! Il tempo deve essere limitato perchè v >0 e dunque $t<\frac{1}{v_0k\rho}$ . Ma che senso ha?

Per $t \rightarrow \frac{1}{v_0k\rho}$ , $v \rightarrow + \infty$ . Non e' una cosa particolarmente sorprendentemente secondo me e vuol dire che sicuramente succede qualcos'altro quando $t \rightarrow \frac{1}{v_0k\rho}$ .

Prima di poter usare soluzioni che assumono l'orbita sia quasi circolare, bisogna chiedersi se lo si puo' fare. In questo caso direi che la cosa ha senso se l'accelerazione tangenziale dovuta all'attrito modifica poco l'orbita. Ad esempio potete controllare se il raggio dell'orbita cambia di poco in un giro intorno alla Terra, e potete imporre che l'accelerazione tangenziale sia molto minore della forza di gravita'. Scommetterei che una di queste condizioni smette di essere vera quando $t \rightarrow \frac{1}{v_0k\rho}$ , nel qual caso bisogna risolvere il problema senza questa approssimazione.

Per completezza: il problema completo non e' particolarmente difficile. L'equazione del moto ha componenti radiale e tangenziale (assumendo io abbia copiato l'accelerazione bene da qua):
$\displaystyle \frac{d^2 r}{d t^2} - r (\frac{d \phi}{dt})^2= -\frac{GM_{Terra}}{r^2} - k \rho \sqrt{(\frac{dr}{dt})^2 + (r \frac{d \phi}{dt})^2} \frac{dr}{dt}$
$\displaystyle r \frac{d^2 \phi}{d t^2} + 2 \frac{dr}{dt} \frac{d \phi}{dt} = - k \rho \sqrt{(\frac{dr}{dt})^2 + (r \frac{d \phi}{dt})^2} r \frac{d \phi}{dt}$
Si risolvono numericamente senza problemi. Dubito si risolvano analiticamente perche' gia' senza attrito sono complicate (sappiamo che in teoria l'orbita puo' essere qualsiasi conica in funzione delle condizioni iniziali).

guido · Messaggio da **guido** » 6 dic 2016, 18:44

Intanto desidero ringraziarvi perchè il difetto di esperienza e di competenze da parte mia mi fa meravigliare e preoccupare di problemi che com'è naturale sono già stati affrontati e risolti da tanti e tante volte

Mi divertirò a cercare di capire le equazioni di Pigkappa: la prima radiale non mi dà particolari problemi ma la seconda fa comparire al secondo membro insieme all'attrito un termine che ancora non capisco ma che vorrei capire senza aiuti

Messaggio da **Pigkappa** » 7 dic 2016, 19:28

Ho corretto le formule sopra, i termini a destra sono brutti perche' l'attrito proporzionale a $v^2$ e' antipatico da scrivere in coordinate cilindriche (ma anche cartesiane), comunque sono sicuro che il computer risolve quelle equazioni facilmente.

Flaffo · Messaggio da **Flaffo** » 8 dic 2016, 0:53

$\displaystyle \vec {a} = \left (\begin{matrix} \ddot {r} -r {\dot {\phi}}^2 \\ r \ddot {\phi} +2 \dot {r} \dot {\phi }\end {matrix} \right)$

Quindi:

$\displaystyle -\frac {GMm}{r^2} + k \rho v^2 cos \theta =\ddot {r} -r {\dot {\phi}}^2$

$\displaystyle k \rho v^2 sin \theta =r \ddot {\phi} +2 \dot {r} \dot {\phi }$

$\displaystyle v^2$ è data dalla somma della velocità radiale e tangenziale
$\displaystyle \theta$ è l'angolo tra la velocità $v$ e la retta perpendicolare ad $\vec {r}$

Allora, abbiamo che:

$\displaystyle v^2 = \dot {r}^2 + {\left (r\dot{\phi}\right)}^2$

$\displaystyle sin \theta = \frac {v_t}{v}= \frac { r\dot{\phi} }{ \sqrt { \dot {r}^2 + {\left (r\dot{\phi}\right)}^2 }}$

$\displaystyle cos \theta = \frac {v_r}{v} =\frac {\dot {r} }{ \sqrt { {\left (r\dot{\phi}\right)}^2 + r\dot{\phi} } }$

Sostituendo troviamo, almeno spero, le equazioni scritte da Pigkappa

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