105. Palla su foglio di carta

[FedericoC.]

Per quanto riguarda , ho pensato che l'unica forza netta esterna di cui risente la palla è quella d'attrito, che è sempre perpendicolare al vettore congiungente il CDM e il punto di contatto. Essendo il seno in questo caso unitario .
Per quanto riguarda è il vettore di modulo che congiunge il punto di contatto al CDM, che quindi è perpendicolare al vettore del CDM, nello scrivere ho perso per strada l'addendo . Considerandolo:





che implica e

[step98]

Per quanto riguarda , ho pensato che l'unica forza netta esterna di cui risente la palla è quella d'attrito, che è sempre perpendicolare al vettore congiungente il CDM e il punto di contatto. Essendo il seno in questo caso unitario .

In realtà il problema non era con i moduli, il problema è che l'equazione , come l'hai scritta tu, implica che e hanno la stessa direzione, che non è assolutamente vero perché sono perpendicolari. Inoltre, dato che è il vettore di modulo fisso che congiunge il punto di contatto al CdM, il momento angolare, come avevo detto nel post precedente, non può essere scritto come perché, essendoci anche lo slittamento del punto di contatto, questo punto non è fermo e dunque non può essere preso come centro di rotazione istantaneo; mi spiego: per scrivere il momento angolare in quel modo ti dovresti mettere in un sistema che si muove con il punto di contatto, ma a quel punto staresti utilizzando un sistema non inerziale e dovresti tener conto anche delle forze apparenti.

Comunque visto che il thread sta diventando lungo direi che la staffetta va a te, visto che comunque il ragionamento è giusto e va solo formalizzato meglio, e mentre riprovi a correggere i calcoli puoi cominciare anche a pubblicare il 106. Mi piacerebbe poi conoscere anche la tua opinione sul ragionamento di guido.

[guido]

Si mi hai convinto. Cercherò comunque di riflettere sulla strada che avevo intrapreso considerando quello che chiami impulso totale. Perchè se ammettiamo che la carta si fermi tutto l'impulso dato alla carta (e quello extra dato alla palla perchè trascinata dalla carta) viene annullato da quello opposto dato dall'attrito con il tavolo. Allora alla palla non resta che l'impulso che aveva inizialmente.

[FedericoC.]

Grazie mille per la precisa correzione e scusa per l'orrore che ho scritto
Purtroppo non sono molto abituato a usare il calcolo vettoriale, che è estremamente utile. Provo a correggermi, sperando sia la volta buona.

Come da tuo consiglio parto dal differenziale del momento angolare:

Mettendomi come riferimento nel centro della palla dovrebbe essere quindi si ha:

Svolgendo cioè

Adesso si sostituisce

Si ottiene

Per quanto riguarda la soluzione di Guido, sono assolutamente d'accordo con la tua interpretazione. Considerando il sistema palla-foglio non si può applicare direttamente la conservazione della quantità di moto, poichè non si renderebbe ragione degli impulsi delle altre forze oltre quella di attrito tra palla e foglio. In poche parole il risultato è giusto, ma va dimostrato non si può affermare a priori.

[step98]

C'è ancora qualche piccolo problema ma ci sei vicinissimo: innanzitutto non va bene , infatti non puoi ricavare questa relazione a partire da perchè non si può operare così con i vettori, anche perché il reciproco di un vettore non è definito. Inoltre hai semplificato con la di , e non si possono semplificare scalari con vettori. Però ci sei vicino: poiché la palla si muove di puro rotolamento sia all'inizio che alla fine, puoi scrivere , poi puoi integrare direttamente e sostituire, aiutandoti con questa pagina per semplificare.

[guido]

Ecco una curiosità che volevo soddisfare e che Step spiega: non è definito l'inverso di un vettore. Io di calcolo vettoriale o matriciale non so niente. Ma ho trovato sul web che un vettore si può rappresentare come una matrice di una riga (colonna) e che esiste l'inverso di una matrice anche riga (colonna) e quindi penso di un vettore. Però viene definito facendo praticamente il prodotto scalare rigaxcolonna e ponendo il risultato uguale a 1. E' quello l'inverso di un vettore? Quel vettore che moltiplicato per il dato fa 1? Ma allora esiste

[step98]

Neanch'io ne so molto di algebra lineare, però generalmente con i vettori colonna si rappresentano i vettori come li intendiamo normalmente (cioè quelli che abbiamo utilizzato finora in questo thread), mentre con i vettori riga si rappresentano i co-vettori, che sono i duali dei vettori colonna (e se non sbaglio si può fare anche il contrario). Comunque il punto è che non credo si possa utilizzare questo fatto per definire il reciproco di un vettore, ed un esempio del perché non si può fare lo trovi qui: http://math.stackexchange.com/questions ... e-inverted. E comunque, se anche si potesse, credo che funzionerebbe solo per il prodotto scalare, e non per quello quello vettoriale, come nel post di Federico.
Non provo a fare esempi io perché non ho sufficienti conoscenze di algebra lineare, ma ho trovato varie pagine a riguardo; la più specifica su questo problema è quella di stackexchange, ma ce ne sono anche altre, come ad esempio
https://en.wikipedia.org/wiki/Row_and_column_vectors
https://www.physicsforums.com/threads/r ... ce.590812/

[guido]

Ti ringrazio e consulterò. Perchè, a prescindere come giustamente osservi dal prod. vett., se rappresentiamo per es. , il vettore come si chiama? Non è Questo ripeto a prescindere dall'operazione sul prodotto vettoriale di Federico sicuramente sbagliata. Comunque non ti voglio neanche disturbare con queste domande. Rispondimi solo se non ti scoccia

[drago]

quando si definisce un inverso su un insiene serve un operazione cioè che prende due elementi dell'insieme e li manda in un elemento dell'insieme stesso; cosa che il prodotto scalare non rispetta perchè l'insieme di arrivo è e non uno spazzio vettoriale; comunque qualunque definizione sensata di inverso implica che l'elemento inverso sia unico e ciò non è vero perchè prendendo il tuo esempio definisco è ancora un elemento che facendo il prodotto scalare con da come risultato 1.

[guido]

Grazie infatti ero certo di sbagliare