SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)
SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)
Ciao a tutti,
quest'anno vorrei provare ad entrare alla Normale, così ho cominciato a fare un po' di problemi degli anni scorsi. Ne ho trovato uno che, secondo me, può essere interessante (Anno 1975/6 - n. 2):
Si consideri una sbarra omogenea di sezione quadrata di lato 1 cm e lunghezza 100 cm, libera di ruotare attorno ad un estremo e soggetta alla gravità. Essa viene abbandonata da ferma con un certo angolo rispetto alla verticale. Sotto l’effetto della gravità essa ruota e dopo un tempo passa per la verticale. Si ripete l’identico esperimento con una sbarra simile alla prima, dello stesso materiale, ma di dimensione metà, cioè sezione di lato 0,5 cm e di lunghezza 50 cm. Dopo un tempo , pure essa passa per la verticale. Che
relazione esiste tra e ?
La soluzione a cui ho pensato è la seguente:
Inizio calcolando il volume di ciascuna sbarretta per calcolare poi la massa, lasciando come incognita la densità, che è uguale per le due sbarrette.
La massa della prima sbarretta, quindi, è .
La massa della seconda sbarretta, invece, è
La velocità angolare è diversa, mentre il momento di inerzia è uguale, quindi considerando:
si ha che
Da qui ottengo che .
Cosa ne pensate?
quest'anno vorrei provare ad entrare alla Normale, così ho cominciato a fare un po' di problemi degli anni scorsi. Ne ho trovato uno che, secondo me, può essere interessante (Anno 1975/6 - n. 2):
Si consideri una sbarra omogenea di sezione quadrata di lato 1 cm e lunghezza 100 cm, libera di ruotare attorno ad un estremo e soggetta alla gravità. Essa viene abbandonata da ferma con un certo angolo rispetto alla verticale. Sotto l’effetto della gravità essa ruota e dopo un tempo passa per la verticale. Si ripete l’identico esperimento con una sbarra simile alla prima, dello stesso materiale, ma di dimensione metà, cioè sezione di lato 0,5 cm e di lunghezza 50 cm. Dopo un tempo , pure essa passa per la verticale. Che
relazione esiste tra e ?
La soluzione a cui ho pensato è la seguente:
Inizio calcolando il volume di ciascuna sbarretta per calcolare poi la massa, lasciando come incognita la densità, che è uguale per le due sbarrette.
La massa della prima sbarretta, quindi, è .
La massa della seconda sbarretta, invece, è
La velocità angolare è diversa, mentre il momento di inerzia è uguale, quindi considerando:
si ha che
Da qui ottengo che .
Cosa ne pensate?
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Re: SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)
Il momento di inerzia di una sbarra sottile uniforme di massa e lunghezza calcolato rispetto a un estremo è , quindi le due sbarre non hanno stesso momento di inerzia.
Le forza agenti sulla sbarretta sono il peso e la reazione del perno, ma il momento di quest'ultima è ovviamente nullo se calcolato rispetto al perno. In generale, in un generico istante l'accelerazione e l'angolo con la verticale rispetteranno l'equazione:
Da cui ricavi in particolare , quindi dato che ottieni
Le forza agenti sulla sbarretta sono il peso e la reazione del perno, ma il momento di quest'ultima è ovviamente nullo se calcolato rispetto al perno. In generale, in un generico istante l'accelerazione e l'angolo con la verticale rispetteranno l'equazione:
Da cui ricavi in particolare , quindi dato che ottieni
Re: SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)
Grazie mille, in effetti avevo dei dubbi sul momento angolare. In questo caso, quindi, lo spessore delle sbarrette non ha nessun impatto sul momento angolare, giusto?
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Re: SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)
Non incide su e quindi presumibilmente sulla velocità angolare, ma incide sul momento di inerzia, e quindi sul momento angolare
Re: SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)
Grazie mille ancora! Questa parte dovrò ripassarla bene, mi sa
Buona giornata!
Buona giornata!
Re: SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)
Scusatemi, ma non mi sono chiari due punti.
Se t è proporzionale ad 1/L, allora il rapporto non dovrebbe essere 2?
Inoltre perché il secondo membro dell'uguaglianza è MgL/2senθ e non MgLsenθ?
Se t è proporzionale ad 1/L, allora il rapporto non dovrebbe essere 2?
Inoltre perché il secondo membro dell'uguaglianza è MgL/2senθ e non MgLsenθ?
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Re: SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)
Giusto, il centro di massa!
Invece non riesco a capire da dove ricavi la proporzionalità tra t ed a...
Invece non riesco a capire da dove ricavi la proporzionalità tra t ed a...
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Re: SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)
Per analogia con la caduta di un grave