Un risultato molto importante in meccanica classica è che le uniche forze centrali per le quali ogni orbita limitata è chiusa (vale a dire che dopo un certo tempo la massa ripercorre la traiettoria che ha già fatto) sono quelle corrispondenti ai potenziali con e oppure e , cioè solo forze del tipo di quella elastica o del tipo di quella gravitazionale.
Non è una cosa semplice da dimostrare soprattutto perchè i conti sono molto lunghi, però si può dimostrare con pochi conti, ed è un bel problema da fare, che le uniche "candidate" ad avere la caratteristica che tutte le orbite limitate sono chiuse sono le forze centrali che derivano dai potenziali e sono attrattive. Sostanzialmente potete dimostrare in modo semplice che se una forza centrale ha una legge che non è una potenza allora di sicuro esistono oribite limitate ma non chiuse.
P.S. se si fanno le cose in modo preciso si può anche dire qualcosa in più su ...
[hint: per fare le cose in modo semplice considerate le orbite che si ottengono perturbando un pochino un orbita circolare]
teorema di bertrand
Re: teorema di bertrand
Ciao Andrea! Scusa l'ignoranza ma ho un paio di domande... per piccola perturbazione di un moto circolare intendi un breve impulso? E per orbita limitata ma non chiusa intendi una serie di orbite che non si sovrappongono mai o un'orbita che si evolve per esempio allontanandosi continuamente o avvicinandosi al corpo che ne causa questo particolare moto?
P.S. che livello di conoscenze serve per risolverlo (sia di matematica che di fisica)?
P.S. che livello di conoscenze serve per risolverlo (sia di matematica che di fisica)?
Re: teorema di bertrand
Si per piccola perturbazione si intende quello: immagina di avere un corpo in orbita circolare di raggio intorno a un centro di forza, se l'orbita circolare è stabile, allora se un impulso esterno porta il corpo a un raggio , allora lorbita sarà "non proprio circolare" perchè durante la sua rotazione attorno al centro di forza, il modulo del raggio vettore oscilla intorno a . Puoi notare che se il rapporto tra il periodo di rotazione del corpo attorno al centro e il periodo delle oscillazioni del raggio non è un numero razionale, allora l'rbita risultante non è chiusa; l'idea della dimostrazione si basa su questo. Le conoscenze necessarie sono normale analisi. Comunque è meglio che metto un aiutino in più:
Mettendo insime conservazione dell energia e del momento angolare si ottiene:
e derivando tutto rispetto al tempo si ottiene dove è il potenziale e è il modulo della forza. Ora la conservazione del momento angolare può essere sfruttata ancora nella forma e usando questa sostituzione dell'operatore di derivazione temporale nell equazione precedente, ponendo dovreste ottenere .
Questa è un equazione differenziale del secondo ordine la cui soluzione è il reciproco dell'equazione dell'orbita quindi è molto comodo partire da questa.
Mettendo insime conservazione dell energia e del momento angolare si ottiene:
e derivando tutto rispetto al tempo si ottiene dove è il potenziale e è il modulo della forza. Ora la conservazione del momento angolare può essere sfruttata ancora nella forma e usando questa sostituzione dell'operatore di derivazione temporale nell equazione precedente, ponendo dovreste ottenere .
Questa è un equazione differenziale del secondo ordine la cui soluzione è il reciproco dell'equazione dell'orbita quindi è molto comodo partire da questa.
Re: teorema di bertrand
Essendo si arriva a dove si è diviso i due membri per x', il primo termine discende dalla derivazione dell'energia cinetica radiale, il secondo da quella dell'energia cinetica perpendicolare a r e il secondo membro da quella dell'energia potenziale.Sviluppando in serie per si può porre arrestandoci al primo termine . Quindi l'equazione del moto diventa . Se è una forza elastica essa può scriversi , equazione del secondo ordine non omogenea in cui x è data dalla soluz. generale di quella omogenea (moto armonico) e da una soluz. particolare di quella non omogenea che palesemente è il secondo membro diviso per il coefficiente di x nel primo. L'orbita si chiude se il periodo legato a questo coefficiente (pulsazione al quadrato) ha un rapporto razionale con quello dell'orbita circolare. Se invece gravitazionale o coulombiana attrattiva ottengo, con il solito sviluppo in serie del denominatore di k, . Mi sembra che la f sia candidata come dici tu se il coefficiente di x nel primo membro è positivo. Mi pare però che la cosa potrebbe funzionare anche con altre potenze attrattive. Certamente non funzionerebbe se f non fosse potenza di
Re: teorema di bertrand
Sisi certo ma infatti lo scopo non é dimostrare che per quelle due forze le orbite limitate sono chiuse, anche perchè è noto che per entrambe le uniche orbite limite sono ellissi... lo scopo è dimostrare che se la legge della forza non è una potenza allora esistono orbite limitate ma non chiuse
Re: teorema di bertrand
Consideriamo un corpo di massa soggetto ad un potenziale della forma con momento angolare . Calcoliamo la frequenza della piccole oscillazioni rispetto al raggio dell'orbita circolare .
Il corpo si discosta di dalla posizione di equilibrio con
L'accelerazione totale a cui è soggetto il corpo è :
Approssimando:
Riordinando:
Notiamo che
Si tratta proprio della condizione forza centripeta uguale forza gravitazionale per un corpo in orbita circolare. Dunque, raccogliendo e sostituendo per abbiamo:
Riconosciamo un moto armonico la cui frequenza è:
Mentre la frequenza dell'orbita circolare è semplicemente data da:
Il rapporto vale:
Un'orbita è chiusa se il rapporto tra le fequenze è un numero reale. Abbiamo quindi un infinito numero di candidati per cui abbiamo orbite chiuse, tra cui sono compresi e .
Le orbite chiuse sono però approssimate, poiché abbiamo approssimato al secondo ordine per ottenere il risultato. Il teorema di Bertrand dice che esse sono "esattamente chiuse" per e
Il problema si risolve molto più velocemente se consideriamo che
Dove è la derivata seconda del potenziale efficace, dove è:
Come si vede subito, otteniamo immediatamente lo stesso risultato.
Riguardo a dire "qualcosa in più su ", possiamo notare che affinché ci sia il moto attorno al punto di equilibrio . Nel caso , cioè abbiamo un massimo locale per e piccole perturbazioni crescerebbero invece che andare a 0, come ci dice anche il risultato ottenuto per la frequenza, che non ammette soluzioni per .
Il corpo si discosta di dalla posizione di equilibrio con
L'accelerazione totale a cui è soggetto il corpo è :
Approssimando:
Riordinando:
Notiamo che
Si tratta proprio della condizione forza centripeta uguale forza gravitazionale per un corpo in orbita circolare. Dunque, raccogliendo e sostituendo per abbiamo:
Riconosciamo un moto armonico la cui frequenza è:
Mentre la frequenza dell'orbita circolare è semplicemente data da:
Il rapporto vale:
Un'orbita è chiusa se il rapporto tra le fequenze è un numero reale. Abbiamo quindi un infinito numero di candidati per cui abbiamo orbite chiuse, tra cui sono compresi e .
Le orbite chiuse sono però approssimate, poiché abbiamo approssimato al secondo ordine per ottenere il risultato. Il teorema di Bertrand dice che esse sono "esattamente chiuse" per e
Il problema si risolve molto più velocemente se consideriamo che
Dove è la derivata seconda del potenziale efficace, dove è:
Come si vede subito, otteniamo immediatamente lo stesso risultato.
Riguardo a dire "qualcosa in più su ", possiamo notare che affinché ci sia il moto attorno al punto di equilibrio . Nel caso , cioè abbiamo un massimo locale per e piccole perturbazioni crescerebbero invece che andare a 0, come ci dice anche il risultato ottenuto per la frequenza, che non ammette soluzioni per .
"No, no, you're not thinking; you're just being logical. "