41. Asta ed urto(SNS 2011)

Scugnamì · Messaggio da **Scugnamì** » 20 feb 2015, 17:49

Un'asta rigida di lunghezza $a$ e massa trascurabile ha un estremo incernierato ad un altezza $a$ dal piano orizzontale attorno al quale può ruotare mantenendosi sul piano verticale.All'altra estremità ed al centro della sbarretta sono fissati due corpi di massa $m$ . L'asta viene rilasciata da ferma e quando arriva a quota 0 si scontra con un corpo di massa $M$ e rimbalza all'indietro .L'urto è elastico e non si considerano attriti. Sapendo che l'estremo libero della sbarretta dopo l'urto risale fino a quota $\displaystyle \frac{a}{4}$ determinare il rapporto $\frac{M}{m}$ .

P.S. Scusate per il ritardo ma in sti giorni ci sono state le Olimat e non sono riuscito a postare.

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 20 feb 2015, 17:54

scusa solo un chiarimento: quando dici "il centro" intendi il centro della sbarretta?

Scugnamì · Messaggio da **Scugnamì** » 20 feb 2015, 18:13

Yep sry mo edito.

sall96 · Messaggio da **sall96** » 20 feb 2015, 21:36

Ma quando viene lasciata andare la sbarretta è orizzontale? Nel senso: anche il centro di massa è ad altezza $a$ ?

Scugnamì · Messaggio da **Scugnamì** » 20 feb 2015, 21:37

andrea96 · Messaggio da **andrea96** » 26 feb 2015, 17:40

La differenza di energia potenziale tra la posizione iniziale e quella di urto è data da: $\Delta U=mga+mg\frac {a}{2}=\frac{3}{2}mga$ . Questa sarà tutta energia cinetica di rotazione, e visto il momento di inerzia della sbarretta rispetto al perno è $I=ma^2+m(\frac{a}{2})^2=\frac{5}{4}ma^2$ si ottiene che la velocità angolare prima dell'urto è $\omega_0=\sqrt{\frac{12}{5}\frac{g}{a}}$ . Sapendo che la massa in basso dopo l'urto risale di $\frac{a}{4}$ sfruttando la similitudine dei triangoli si trova che la massa al centro della sbarretta risale di $\frac{a}{8}$ cosi che la differenza di potenziale tra le due posizioni è $\Delta U'=\frac{3}{8}mga$ che era chiaramente tutta l'energia rotazionale della sbarretta dopo l'urto, da cui la sua velocità angolare era data da $\omega=\sqrt{\frac{3}{5}\frac{g}{a}}=\frac{\omega_0}{2}$ . Se $v$ è la velocità di $M$ dopo l'urto, dal fatto che l'urto è elastico la conservazione dell'energia ci da $\frac{1}{2}\frac{5}{4}ma^2({\omega_0}^2-{\omega}^2)=\frac{1}{2}Mv^2$ cioè $v^2=\frac{15}{16}\frac{m}{M}a^2{\omega_0}^2$ . Ora ci serve un altra relazione per $v$ . Per non starci a impicciare e considerare tremila equazioni con la reazione vincolare del perno, visto che ci basta un equazione, la cosa piu conveniente da fare ( e lo è tutte le volte che abbiamo rotazioni intorno a perni o cose simili ) è considerare il momento angolare calcolato rispetto al perno cosi che la forza di questo ha braccio nullo, e visto che la forza gravitazionale nel momento dell'urto agisce lungo la congiungente masse-perno, otteniamo che il momento angolare rispetto al perno è conservato durante l'urto. Prima dell'urto avevamo $L=\frac{5}{4}ma^2\omega_0$ , dopo l'urto abbiamo $L=Mav-\frac{5}{4}ma^2\omega$ , e eguagliandoli otteniamo $v=\frac{15}{8}\frac{m}{M}a {\omega_0}$ e sostituendo in quella che avevamo trovato prima si ottiene $\frac{M}{m}=\frac{15}{4}$

Scugnamì · Messaggio da **Scugnamì** » 27 feb 2015, 18:16

Giusto tutto. prego a te il testimone

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