Sfiorare un esagono

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egl
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Sfiorare un esagono

Messaggio da egl » 20 ott 2010, 15:51

Propongo questo problema che mi è sembrato abbastanza carino, anche se forse non troppo da olimpiadi.

Si ha un esagono regolare e lo si dispone a terra in modo tale che un lato tocchi per intero il suolo. Si lancia ora una particella in modo tale che sfiori tutti e quattro gli altri vertici dell'esagono. Mostrare che il rapporto tra velocità massima e minima della particella è .

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Loren Kocillari89
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Re: Sfiorare un esagono

Messaggio da Loren Kocillari89 » 24 ott 2010, 23:47

Uhmm non riesco a visualizzarmi l'orbita di tale particella. Un abozzo disegnato sarebbe il meglio! :D
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Pigkappa
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Re: Sfiorare un esagono

Messaggio da Pigkappa » 25 ott 2010, 0:04

Se ho capito bene, l'esagono giace in un piano verticale; perciò i suoi vertici li immagino nei punti:








Dove il lato è 1, la gravità va lungo , il pavimento è .
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egl
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Re: Sfiorare un esagono

Messaggio da egl » 25 ott 2010, 15:54

Sì, penso che il modo migliore di disporre l'esagono è quello di Pigkappa (anche se poi in realtà mi importa sapere solo le coordinate dei vertici e , oppure ed ).

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Loren Kocillari89
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Re: Sfiorare un esagono

Messaggio da Loren Kocillari89 » 25 ott 2010, 16:49

Sisi ok anche io la vedevo in questo modo ma la particella insomma da dove viene lanciata? Compie un orbita circolare attorno all'esagono che tocca tutti i vertici o un'altra orbita più complessa?? Non vedo proprio il moto di tale particella :? se qualcuno ce l'ha già la risposta lo dica pure. tanto prima che io mi visualizzi l'orbita ce ne vuole :D
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Spammowarrior
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Re: Sfiorare un esagono

Messaggio da Spammowarrior » 25 ott 2010, 17:02

direi che viene lanciata proprio nel senso di lanciata, moto parabolico e tutto il resto.

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Loren Kocillari89
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Re: Sfiorare un esagono

Messaggio da Loren Kocillari89 » 25 ott 2010, 19:07

Si ora finalmente è chiaro. Ero CONVINTO che la particella doveva passare per tutte e 6 i vertici! :mrgreen:
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Fog
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Re: Sfiorare un esagono

Messaggio da Fog » 30 ott 2010, 20:50

Premetto che sono un neofita assoluto della fisica ( Potrei dire delle oscenità).
Ci provo.
Definisco l'esagono in modo più generale ( ma non molto...)

dove l è la misura del lato dell'esagono e b è la distanza dall'origine del vertice più vicino a questa.
Sia il vettore velocità iniziale ( immaginiamo che la particella venga lanciata dall'origine per semplicità...) e l'angolo che esso forma con l'asse delle ascisse del nostro sistema di riferimento.
Si ha quindi che


Da cui deriva ( facendo i calcoli adeguati) che
Si ha che:
1)L'asse della parabola deve essere l'asse del lato dell'esagono e che quindi

2)
3)
Mettendo a sistema la 2) e la 3) ( la 1) l'ho scritta per sapere da voi se serve a qualcosa francamente... :oops: ) e risolvendo secondo v si dovrebbe ottenerne l'intensità e di conseguenza alfa (? chiedo conferma...) Fatto questo, si ottiene facilmente l'equazione della velocità rispetto al tempo ed è facile ottenere il rapporto cercato, ma mi sembra un po ( tanto) laboriosa come strada da intraprendere...

è corretto ciò che ho pensato di fare ?

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f.o.x
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Re: Sfiorare un esagono

Messaggio da f.o.x » 31 ott 2010, 12:06

L'equazione della parabola passante per i vertici dell'esagono sistemato nel piano cartesiano come da pigkappa ha equazione con , e infatti si trova che per l=1 (ma è lo stesso per ogni l), si trova che . invece mettendo a sitema le leggi orarie del moto della particella si ha

dove e in cui b non è zero.
Comunque sia ho provato lo stesso a proseguire e ho trovato

e dal primo valore di ho trovato quella che dovrebbe essere la prima equazione risolvente:

Per ora non vado avanti visto che credo proprio di aver toppato :roll:

Ippo
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Re: Sfiorare un esagono

Messaggio da Ippo » 31 ott 2010, 17:32

Dal momento che sappiamo scrivere in coordinate cartesiane la generica traiettoria di un punto nel campo gravitazionale (la parabola), è un po' inutile affrontare tutto in modo "cinematico" (cioè dando le equazioni in forma parametrica: ). è più facile ricondursi al problema di geometria cartesiana equivalente: trovale l'unica parabola per quattro vertici consecutivi di un esagono.
Converrà prendere come asse y l'asse del lato di base; in questo modo la simmetria ci permette di dire che la parabola che cerchiamo ha la forma . Imponendo che passi per i punti e troviamo i parametri a, b:
danno

A questo punto il problema chiede il rapporto tra la velocità massima e quella minima; ma la minima si ha al vertice della parabola (è la sola componente orizzontale costante), mentre la massima si ha alla partenza o all'arrivo (dove la componente verticale è massima). Il rapporto tra questi due valori si ottiene semplicemente dalla pendenza della traiettoria in partenza o in arrivo, che nel linguaggio dell'analisi si scrive
(ma una volta nota la parabola potete calcolarlo un po' come vi pare anche con strumenti non analitici). Questo valore è la tangente dell'angolo di lancio: ; a noi serve il coseno, che si ottiene dalla tangente in questo modo:


Segue
Il valore chiesto era il rapporto tra massimo e minimo cioè il reciproco di questo.

EDIT: per qualche motivo avevo inserito come ascissa del punto di lancio anziché , il che ovviamente sballava i conti. Scusate.

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