SNS 2014 problema 5

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sall96
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SNS 2014 problema 5

Messaggio da sall96 » 30 dic 2014, 15:01

L'indice di rifrazione dell'atmosfera cresce con continuita' dall'atmosfrea piu' alta, dove , fino alla superficie della terra, dove .
Esprimere la relazione fra gli angoli e rispetto alla verticale, dove e' definito dalla direzione vera della luce proveniente da una stella al limite superiore dell'atmosfera e dalla direzione apparente della stella come osservata sulla superficie della terra. Si ignori la curvatura della terra.
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bogcal11
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Re: SNS 2014 problema 5

Messaggio da bogcal11 » 30 dic 2014, 15:36

Quello che farei è dividere l'atmosfera in strati infinitesimi e applicherei la legge di Snell. In questo modo i due angoli del testo sono ancora legati dalla legge di Snell
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andrea96
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Re: SNS 2014 problema 5

Messaggio da andrea96 » 30 dic 2014, 15:44

bogcal11 ha scritto:Quello che farei è dividere l'atmosfera in strati infinitesimi e applicherei la legge di Snell. In questo modo i due angoli del testo sono ancora legati dalla legge di Snell
Si l'idea è chiaramente giusta ma non pensare che in quel modo ti venga subito una funzione che ti lega l'angolo all'altezza... c'è da usare un "piccolo" stratagemma e poi approssimare; il problema più grosso è trovare l'approssimazione giusta che permetta di trovare una funzione. Bisognerebbe vedere un po con i dati che da fino a che punto si può approssimare.. :shock:

bogcal11
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Re: SNS 2014 problema 5

Messaggio da bogcal11 » 30 dic 2014, 15:47

Scusa ma sono un po' inebetito... Quale altezza indendi?
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andrea96
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Re: SNS 2014 problema 5

Messaggio da andrea96 » 30 dic 2014, 15:49

più o meno quella che vuoi :D secondo me la più comoda è quella misurata a partire dal limite dell'atmosfera andando verso la terra

bogcal11
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Re: SNS 2014 problema 5

Messaggio da bogcal11 » 30 dic 2014, 15:51

Scusa, non mi sono spiegato bene :oops: Non capisco perché dovrei trovare una finzione che mi leghi l'angolo all'altezza
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andrea96
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Re: SNS 2014 problema 5

Messaggio da andrea96 » 30 dic 2014, 16:03

Perchè se la trovi, sostituendo all'altezza l'altezza dell'atmosfera, trovi la relazione che stai cercando :D

andrea96
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Re: SNS 2014 problema 5

Messaggio da andrea96 » 30 dic 2014, 16:58

scrivo la mia soluzione ditemi che ne pensate:
Chiamo la distanza verticale da un punto generico al limite dell'atmosfera dove . Chiamo l'altezza dell'atmosfera. L'assunzione fondamentale è che la funzione essendo monotona crescente ed avendo pendenza media (quindi piccolissima ) si può assumere lineare, e quindi:

Ora chiamando l'angolo che la luce forma con la verticale ad un altezza scrivo la legge di Snell all'altezza :

Ora nell'ultimo termine il denominatore è nella forma con e utilizzando l'approssimazione (non sapendo scrivere circa con Tex scrivo uguale) se riduco magicamente la legge di Snell (trascurando il termine perchè è molto più piccolo degli altri ) a:

Ora la cosa furba da fare è il cambio di variabile così che è sempre piccolissimo e posso scrivere(sempre senza saper usare il circa) e . Mettendo tutto nella legge di Snell ottengo quindi:

Ora utilizzando l'approssimazione di prima visto che :

dove ho trascurato il termine perchè è piccolissimo, e ho usato il fatto che
La legge di Snell diventa quindi:
cioè
Quindi integrando e ricordando che si arriva a

e visto che la relazione cercata è

sall96
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Re: SNS 2014 problema 5

Messaggio da sall96 » 30 dic 2014, 17:08

Molto simile alla mia, io ho solo fatto qualche approssimazione in meno e mi è venuto un risultato diverso (spero di non aver fatto errori :? , comunque l'impostazione è uguale :) ). Penso vada bene :D
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andrea96
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Re: SNS 2014 problema 5

Messaggio da andrea96 » 30 dic 2014, 17:14

Se uno vuole può anche evitare di trascurare il termine visto che essendo proporzionale a che poi si semplifica porta lo stesso a una soluzione nemmeno troppo più complicata, però non cambia di molto il risultato visto che quel termine è realmente molto piccolo anche quando ... però scrivo quello che viene se non si trascura quel termine:
è banale vedere come si arriva a:

Stavolta integrando si ottiene:

e quindi
e di conseguenza
Però è evidente che il termine correttivo in più è talmente piccolo che non credo valga nemmeno la pena di scrivere questo pezzo in più al test...

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