Corda su due piani inclinati

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 29 set 2010, 0:17

Una corda è poggiata su due piani che sono entrambi inclinati di un angolo $\theta$ rispetto all'orizzonte. La corda ha densità uniforme di massa $\rho$ , e il suo coefficiente di attrito con i piani è 1. Il sistema è simmetrico. Qual è la frazione più ampia possibile della corda che non tocca i due piani? Quale angolo \theta permette questo valore massimo?

Stardust · Messaggio da **Stardust** » 5 ott 2010, 19:29

Visto che nessuno se ne occupa, provo io.
Denomino x il tratto di corda sospeso, l il tratto di corda giacente su ognuno dei due piani inclinati e L la lunghezza totale della corda, in modo tale che:
$2l+x=L$ .
Un tratto l sul piano obliquo ha un peso:
$P_l=\rho gl$ , dove $\rho$ è la densità lineica/lineare.
Esso si scompone in due parti ortogonali tra loro: una parallela al piano, l'altra ovviamente perpendicolare ad esso.
$P_{l_\perp}=\rho gl\, cos \theta$
$P_{l_\parallel}=\rho gl\, sin \theta$
La parte ortogonale al piano provoca la forza d'attrito che ferma (fino a un certo punto...) la discesa della corda verso il basso.
$F_a=\mu \rho gl\, cos \theta=\rho gl \,cos \theta$
Infine c'è la tensione sulla corda distesa, derivante dalla parte di corda sospesa x. Per calcolarla non serve ragionare in termini di forma assunta dalla corda, anche se sarebbe interessante vedere questo aspetto. Semplicemente il peso $P_x=\rho gx$ è sostenuto da una doppia tensione T agente lungo i due piani inclinati. Per la configurazione simmetrica del sistema le due tensioni sono uguali ed entrambe inclinate di un angolo $\theta$ rispetto all'orizzontale nei punti in cui la porzione sospesa si congiunge a quella appoggiata.
Per l'equilibrio la somma delle componenti verticali delle due tensioni deve controbilanciare il peso:

$P_x=2T_y=2T sin \theta$ $\Rightarrow$ $T=\displaystyle{\frac{\rho \,gx}{2 \,sin \theta}}$

Ora bisogna vedere le condizioni di equilibrio sulla porzione di corda che resta aderente al piano inclinato.
Il suo peso è parzialmente scaricato sul piano verso il basso, e nella medesima direzione e nello stesso verso agisce la tensione della corda appena calcolata. Dunque alla sola forza d'attrito spetta l'arduo compito di equilibrare queste due forze, secondo la relazione:

$F_a-P_{l_\parallel}-T=0$

$\rho gl \,cos \theta-\rho gl\, sin \theta-\displaystyle{\frac{\rho gx}{2 \,sin \theta}}=0$

Vedendo che $l=\displaystyle{\frac{L-x}{2}}$ , si ottiene con qualche passaggio:

$x=\displaystyle{\frac{sin \theta\,\cos \theta-sin^2\theta}{sin^2\theta+1-\cos\theta sin\theta}L}$ .

Questa è la funzione che lega la parte di corda sospesa all'angolo di inclinazione dei due piani.
Il suo grafico è qui: http://tiny.cc/jnbii (sull'intervallo $\left[0;\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right]$ )
Il problema richiede di trovare quando questa x è massima.
Per far questo deriviamo la funzione $x=f(\theta)$ , è un po' laborioso.

$\dot{x}=\displaystyle{\frac{cos^2\theta-sin^2\theta-2sin \theta\,cos\theta}{(sin^\theta+1-cos\theta\,\sin\theta)}L}$ .

Quindi si massimizza e si arriva a $\theta_{max}=\displaystyle{\frac{\pi}{8}}$ .
Dunque la massima distanza x di corda sospesa è:

$x_{max}=\displaystyle{\frac{1}{7}} (2 \sqrt2-1)L\,\approx \,0,261L$ .

Loren Kocillari89 · Messaggio da **Loren Kocillari89** » 6 ott 2010, 15:32

Stardust ha scritto:si ottiene con qualche passaggio:

$x=\displaystyle{\frac{sin \theta\,\cos \theta-sin^2\theta}{sin^2\theta+1-\cos\theta sin\theta}L}$ .

Ragionamento fisicamente corretto, un po' meno corretto è il segno al denominatore

che poi si propaga anche nei risultati correlati

Corda su due piani inclinati

Corda su due piani inclinati

Re: Corda su due piani inclinati

Re: Corda su due piani inclinati