Gas di particelle cariche in un condensatore

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Rigel
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Rigel » 10 ott 2010, 16:40

Dai il problema è carino, qualcuno che lo risolva ;)

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Loren Kocillari89
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Loren Kocillari89 » 10 ott 2010, 20:02

E va bene ci provo
punto 4
Per la legge di Gauss applicato ad una massa infinitesima in mezzo al condensatore si ha che

sostituendo

allora

integrando si ottiene:


Ora dato che:
dove
Allora

Punto 5
L'obiettivo è fare tendere la a 0 poichè in tal modo il campo generato dalle cariche è trascurabile rispetto al campo del condensatore. Per fare ciò si può porre T all'infito o meglio,
Lavorando un po' su e sfruttando le serie di Taylor, si ottiene (se non ci sono errori di calcolo):


Ora


che tende a 0 per T abbastanza elevati.
Ecco giustificato il motivo per cui trascuriamo le attrazioni/repulsioni tra particelle. Soltanto se la Temperatura è abbastanza elevata da dare una elevata energia cinetica alle particelle possiamo semplificarci la vita in questo modo,altrimenti andrebbero tenuti in conto
La fisica è come il sesso: certamente può fornire alcuni risultati pratici, ma non è questo il motivo per cui lo facciamo!
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Loren Kocillari89
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Loren Kocillari89 » 10 ott 2010, 20:23

Mi viene qualche dubbio sulla simmetria che ho applicato per trovare il campo generato dalle particelle :roll: , tuttavia se il ragionamento è giusto poco dovrebbe cambiare in sostanza.
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Ippo
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Ippo » 11 ott 2010, 1:06

Non ti seguo: quale superficie gaussiana scegli per calcolare il flusso? Non si capisce dai conti (nell'integrale per il flusso usi una A e integri tra 0 e d, poi nella relazione tra E e il flusso usi una S che dici essere ...che forma geometrica sarà mai questa? :? ) E poi: non tieni conto che c'è un flusso entrante ed uno uscente (la relazione dovrebbe essere qualcosa tipo )
E poi ancora: scrivi dove la x a sinistra è una variabile vera e a destra è muta (infatti dovrebbe scomparire con lo svolgimento dell'integrale definito e invece resta lì: che senso ha?)
Non credo siano solo problemi di comunicazione perchè il risultato per il campo elettrico è effettivamente sbagliato (quell' a denominatore non ci dovrebbe essere, e l'espressione dovrebbe annullarsi per )

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Loren Kocillari89
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Loren Kocillari89 » 11 ott 2010, 8:55

Quella su cui ho applicato il flusso è un volume parallelepipedo infinitesimo . La S invece dovrebbe essere una superficie sferica su cui si calcola il flusso. Ho lasciato la x indipendente considerando che l'integrale in 0 vale un certo numero, mentre in x (ad esempio d, ma anche d/2,d/15 ecc..) è una funzione che dipende dalla x. Penso che non sia vietato matematicamente..
Il fatto di non aver distinto tra flusso entrante e uscente potrebbe aver portato alla formula sbagliata..
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Ippo » 11 ott 2010, 12:09

La legge di Gauss dice che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica netta contenuta in quella superficie. Non puoi calcolare la carica in un parallelepipedo e uguagliarla al flusso per una sfera :shock:
Quanto all'integrale definito allora hai solo fatto una scelta infelice delle variabili mute e forse volevi scrivere

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Loren Kocillari89
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Loren Kocillari89 » 11 ott 2010, 13:22

Ippo ha scritto:La legge di Gauss dice che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica netta contenuta in quella superficie. Non puoi calcolare la carica in un parallelepipedo e uguagliarla al flusso per una sfera :shock:
Esattamente, mi riferivo proprio a questo quando parlavo del mio dubbio, tuttavia se io mi trovassi il flusso dentro un parallelepipedo e il ragionamento è giusto alora il risultato ai fini della Temperatura che deve essere elevatissima non cambia, kmq dopo pranzo posterò quello che penso sia la soluzione
Ippo ha scritto:Quanto all'integrale definito allora hai solo fatto una scelta infelice delle variabili mute e forse volevi scrivere
Guarda non so cosa non è chiaro kmq io intendo la Funzione integrale, che probabilmente equivale alla tua scrittura http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... _integrale
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Loren Kocillari89 » 11 ott 2010, 14:24

Allora quello che sto cercando di ricavare è il flusso del campo elettrico attraverso una superfiicie finita posta con il proprio centro nel centro del condensatore.
Considero soltanto la parte destra dal centro che per comodità suppongo ci siano le cariche positive

Quindi avrò che per la legge di Gauss

da non confondere con
sostituendo



integrando si ottiene:

Ora dato che:
dove S è l'area superficiale del parallelepipedo con centro nell'origine, area laterale A e altezza x

considerando A come untà di superficie.

Allora dopo aver semplificato un paio di termini si avrà:


il quale si annulla nel punto 0, cioè in mezzo al condensatore. Tale risultato non deve stupire poiché in quel punto la densità di carica


si annulla proprio in 0, il che implica che in mezzo non c'è carica ed il flusso nonché il campo sono 0

questo per il punto 4.
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Ippo » 12 ott 2010, 0:46

Loren Kocillari89 ha scritto:Guarda non so cosa non è chiaro kmq io intendo la Funzione integrale, che probabilmente equivale alla tua scrittura http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fo ... _integrale
No ok, ho capito, allora hai solo sbagliato a scrivere l'estremo d'integrazione (ci hai messo d, costante, mentre ci andava la variabile x; a quel punto nell'integranda si mette una variabile muta, ad esempio t, per non fare confusione con la variabile "vera" x, ma questa è una sottigliezza). La mia scrittura non c'entrava niente.
Loren Kocillari89 ha scritto:Allora quello che sto cercando di ricavare è il flusso del campo elettrico attraverso una superfiicie finita posta con il proprio centro nel centro del condensatore.
Qui potresti dirmi di che superficie si tratta, ma mi pare di capire sia un prisma retto con base parallela al condensatore, di area A, e altezza variabile x.
Loren Kocillari89 ha scritto:Considero soltanto la parte destra dal centro
Il teorema di Gauss dice che il flusso totale uscente da una superficie chiusa è uguale alla carica contenuta nella superficie (a meno di costanti moltiplicative), non che puoi prendere facce a piacere della superficie, calcolarci il flusso e uguagliarlo a quello che vuoi. La scrittura comunque è "quasi" giusta, nel senso che per aggiustarla ti basterà scrivere
, e questo si giustifica con argomenti di simmetria (il flusso per la superficie laterale del prisma è nullo). E la superficie di base del prisma dovrà essere la stessa di prima, cioè S=A.
Loren Kocillari89 ha scritto:il quale si annulla nel punto 0, cioè in mezzo al condensatore. Tale risultato non deve stupire poiché in quel punto la densità di carica
Al centro del condensatore hai cariche + da una parte e cariche - dall'altra, è difficile che il campo si annulli (anzi lì avrà un massimo). L'errore segue dall'aver scordato E(0) nel calcolo precedente (vedi che non è pignoleria a vuoto? ;) )
Infine l'implicazione "flusso nullo ===> campo nullo" che sembri sostenere alla fine è molto falsa, pensa ad un campo uniforme.

Ippo
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Re: Gas di particelle cariche in un condensatore

Messaggio da Ippo » 14 ott 2010, 0:32

Allora cercherei di tirare brevemente le somme postando lo schema di una soluzione abbastanza corretta.

1. Sostituendo nell'espressione della densità dell'atmosfera l'energia potenziale qEx al posto di mgz si ottiene, per la specie positiva:

dove si calcola la normalizzazione imponendo che sia

il che dà
dove per semplicità poniamo (ha le dimensioni di 1/lunghezza).
Per la specie negativa la normalizzazione è la stessa (il segno diverso si semplifica nel calcolo dell'integrale).
2. La densità complessiva è data dalla somma delle due densità parziali, che vale

3. La densità di carica è data dalla differenza delle densità parziali, opportunamente moltiplicata per q/m:

4. Il campo elettrico generato dalla distribuzione di carica (ignoriamo il condensatore) all'esterno del condensatore ) è nullo, in quanto si può pensare come somma dei campi elettrici dati da tanti piani carichi infiniti affiancati l'uno all'altro, ciascuno di densità superficiale al variare di x tra -d e d; la carica totale di questi piani è nulla, perciò sommando tutti i contributi si ottiene zero. Allora prendiamo una superficie gaussiana a forma di prisma retto con base (di area S) posta su una faccia del condensatore e l'altra posta ad un'ascissa x; la carica in essa contenuta è

e il flusso del campo elettrico (che è ovviamente diretto solo lungo x, quindi ha flusso nullo attraverso le superfici laterali, ed è nullo per quanto detto prima nella base posta in -d) è

da cui, con la legge di Gauss ,

L'andamento del campo elettrico è una catenaria opportunamente traslata in modo da annullarsi in x=+d e x=-d.
5. Alla luce di questo, il massimo (in modulo) si ha in x=0 come c'era da aspettarsi per simmetria e vale

A questo punto la condizione di validità dell'approssimazione fatta è semplicemente
cioè che il campo elettrico dato dalla distribuzione di carica (che rappresenta le interazioni tra le cariche del gas) sia trascurabile rispetto al campo esterno indotto dal condensatore.

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