sns n.6 - 2013

[poor]

Considerate una barchetta radiocomandata che può solo muoversi di moto rettilineo uniforme ad una velocità predefinita, e cambiare direzione e verso del moto in un tempo trascurabile: si sa che, in una piscina, questa si muove di moto rettilineo uniforme, percorre una distanza di , inverte il suo moto e ritorna al punto di partenza dopo un tempo di 20 secondi. In un fiume molto largo, con condizioni termodinamiche di acqua ed aria identiche a quelle nella piscina, facendo lo stesso tipo di moto e sempre per un percorso di andata uguale a quello di ritorno uguale a , in direzione nord-sud, la barchetta impiega un tempo e in direzione est-ovest un tempo . Si spieghi qualitativamente il motivo delle differenze nei tempi di percorrenza.
Quali sono (qualitativamente) le condizioni per avere il massimo e il minimo per il tempo di percorrenza totale, potendo cambiare la sola direzione del moto del moto della barchetta (restando sempre coincidenti i percorsi di 52 m avanti e indietro)? Si determinino quindi i tempi massimo e minimo che la barchetta impiegherebbe per percorrere 52 m avanti e indietro al variare della sola direzione.

[BorisM]

Premetto che non ho grandi idee...
L' unica cosa che mi è venuta in mente riguarda la prima parte della domanda.
Essendo l' acqua della piscina mista a cloro la sua densità è maggiore rispetto all' acqua di un fiume. Questo fa si che il volume di liquido spostato nella piscina sia minore di quello che la barca sposta quando galleggia nel fiume. Essendo inoltre la misura dello scafo della barca lo stesso l' area di liquido che incontrerà la barca nel suo moto nel fiume è maggiore di quella incontrata in piscina. Ciò comporta ad un attrito maggiore da parte dell' acqua del fiume.

Apparte questo non mi vengono in mente altre spiegazioni. Naturalmente l' acqua del fiume è percorsa da onde che vanno un pò in tutte le direzioni ma non so se il fatto che dica che il fiume è abbastanza largo voglia far intendere che questa caratteristica possa essere trascurata.

Poi non ho ben capito se il problema trascura o meno la corrente poichè in questo caso saprei come spiegarmi la differenza di durata tra i moti da est a ovest e da nord a sud altrimenti non saprei cosa possa essere dovuta

[Pigkappa]

Secondo me è uno dei soliti problemi tutti uguali in cui devi considerare che l'acqua del fiume si muove, e in questo caso non ti dicono loro la direzione in cui scorre il fiume...

[poor]

Ho provato a risolverlo considerando la piscina semplicemente per determinare la velocità predefinita della barca. Nel fiume esiste poi una velocità dell'acqua (trascinamento) che si può determinare con i dati NS e EW prendendo per esempio come asse x quello coincidente con la velocità della corrente del fiume. Bisogna tener conto che la barca si muove in quella direzione tale che la componente normale a questa direzione del suo vettore velocità è opposta alla componente normale a questa stessa direzione del vettore velocità della corrente del fiume ? Inoltre la condizione per avere tempi finiti massimo e minimo mi sembra quella per cui il modulo della velocità della barca sia maggiore di quello della corrente.

[BorisM]

Ho provato a risolverlo considerando la piscina semplicemente per determinare la velocità predefinita della barca. Nel fiume esiste poi una velocità dell'acqua (trascinamento) che si può determinare con i dati NS e EW prendendo per esempio come asse x quello coincidente con la velocità della corrente del fiume. Bisogna tener conto che la barca si muove in quella direzione tale che la componente normale a questa direzione del suo vettore velocità è opposta alla componente normale a questa stessa direzione del vettore velocità della corrente del fiume ? Inoltre la condizione per avere tempi finiti massimo e minimo mi sembra quella per cui il modulo della velocità della barca sia maggiore di quello della corrente.

Non ho capito la tua domanda, comunque la condizione credo sia quella che hai detto te.
L' avevo fatto il problema e mi veniva un valore della corrente di circa 5m/s o qualcosa del genere ma ci sta che mi sbagli. Stavo aspettando di trovare un modo "matematico" per minimizzare il tempo ma non ci ho più lavorato. Comunque intuitivamente il tempo è minimo quando la barca va nella stessa direzione della corrente e dovrebbe essere proprio 20 secondi.
Quando lo riesco a dimostrare ed ho un po di tempo posto la soluzione che ho dato io (non so se è quella giusta) ma ora sono pieno di impegni scolastici e non ho proprio il tempo utile

[poor]

Si, anch'io sono incasinato. A me viene una velocità di corrente di 4,5 m/s. Però nella direzione della corrente il tempo totale mi viene massimo perchè se all'andata è minimo al ritorno è massimo mentre mi viene minimo in direzione perpendicolare alla corrente. Ma posso aver sbagliato: ho trovato il tempo di andata e ritorno in una certa direzione in funzione dell'angolo che la rappresenta e poi ho fatto la derivata prima uguale a zero per il max e min. Trovo gli estremi quando l'angolo è 0 o retto.

[BorisM]

Si, anch'io sono incasinato. A me viene una velocità di corrente di 4,5 m/s. Però nella direzione della corrente il tempo totale mi viene massimo perchè se all'andata è minimo al ritorno è massimo mentre mi viene minimo in direzione perpendicolare alla corrente. Ma posso aver sbagliato: ho trovato il tempo di andata e ritorno in una certa direzione in funzione dell'angolo che la rappresenta e poi ho fatto la derivata prima uguale a zero per il max e min. Trovo gli estremi quando l'angolo è 0 o retto.

Premetto di aver detto un bel pò di cavolate
Ho riguardato con calma il problema nel modo in cui l' avevo svolto l' altra volta e il procedimento che avevo eseguito era sbagliato in quanto giungevo ad una velocità della corrente maggiore rispetto a quella della barca.
L' altro sfondone che ho detto e quello più grosso è che il percorso minimo si ha quando la barca va nella stessa direzione della corrente e che il tempo è proprio di 20 secondi
Ho cercato di impostare il problema in più modi ma mi manca un equazione
Comunque sia penso proprio che l' esercizio debba essere impostato analizzando appunto l' angolo che si forma tra la direzione della corrente e quella del moto della barca come hai detto tu
Posso chiedermi di descrivere brevemente il procedimento che hai eseguito per trovare la velocità della corrente?
Io avevo pensato nel primo caso (moto da nord a sud) di rendere 0 la somma vettoriale tra le componenti orizzontali e poi avevo impostato un equazione per ricavare la velocità media in cui comparivano due tempi che ho chiamato t1 e t2 dei quali conoscevo la somma ma mi mancava sempre un equazione perchè avevo un dato in piu
Avevo provato anche a impostare l' equazione con gli angoli ma anche così stesso problema..

[Pigkappa]

Dato che mi sembrate un po' incasinati, vi scrivo come si fa secondo me. Leggete solo se volete la soluzione!

Chiamiamo la velocità della barca, la velocità della corrente, diciamo che l'asse x va da ovest ad est. Si ha ; . Risolvete per e e avete trovato u e l'angolo tra e l'asse x.

Poi dite che il tempo di percorrenza della barca è dove è l'angolo tra la direzione della barca e quella della corrente, e trovate il massimo ed il minimo di questa funzione al variare di .

[Pigkappa]

Mi accorgo solo ora che parlavate di farlo con l'angolo tra direzione della barca e della corrente invece che scomponendo in assi... Ovviamente si fa anche in quel modo!

[BorisM]

Dato che mi sembrate un po' incasinati, vi scrivo come si fa secondo me. Leggete solo se volete la soluzione!

Chiamiamo la velocità della barca, la velocità della corrente, diciamo che l'asse x va da ovest ad est. Si ha ; . Risolvete per e e avete trovato u e l'angolo tra e l'asse x.

Ma in questo modo tu poni la direzione della velocità della barca in direzione nord-sud o est-ovest. Non deve essere la direzione del moto nord-sud o est-ovest?