Il caso è analogo a quello gravitazionale: l'unica forza che agisce su una carica è quella prodotta dal campo elettrico delle cariche contenute nella sfera posta sotto di essa. (Non sono molto chiaro ma penso che il caso gravitazionale sia ben presente a tutti). Questo fondamentalmente perché i conti in un caso o nell'altro "si fanno allo stesso modo".
PUNTO 1
Consideriamo una sfera di raggio r concentrica alla prima, con r < R_0.
Sia
la densità di carica. Allora, a distanza r dal centro della sfera, il campo elettrico è radiale ed è dato da
 = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0}r)
, la forza subita da una carica q sulla superficie di una sfera di raggio r sarà dunque data da
 = \dfrac{\rho q}{3\epsilon_0}r)
da cui l'accelerazione
 = \dfrac{\rho q}{3m\epsilon_0}r)
.
Consideriamo due particelle che stiano rispettivamente a distanze
e
dal centro. Il rapporto tra le loro due accelerazioni, in ogni istante, è dato da
, costante ad ogni istante. Esso sarà quindi uguale al rapporto tra gli spazi percorsi in uno stesso istante: se le due particelle, dopo un certo istante t, saranno distanti
e
dal centro, si avrà
(*). Ma allora
e di conseguenza
^3 = (\dfrac{r_2 '}{r_2})^3)
. Ma i rapporti appena scritti sono i rapporti tra i volumi sottesi dalle due particelle nei due istanti. Si vede quindi che tale rapporto è lo stesso per tutte le particelle, in un determinato istante t. Di conseguenza, se la densità diminuisce di un certo fattore x in una qualsiasi sfera concentrica alla prima, diminuisce dello stesso fattore x anche in tutte le altre sfere concentriche alla prima, e la densità globale rimarrà sempre uniforme.
(DIMOSTRAZIONE della (*): le due equazioni differenziali che descrivono il moto sono infatti, rispettivamente,
e
, con k costante, e se quindi esistono due soluzioni
)
e
)
alle rispettive equazioni differenziali, sarà
 = kr_1(t))
).
PUNTO 2. L'energia potenziale di una particella sulla superficie della sfera è
, dove N è il numero di cariche contenute nella sfera. (Si è approssimato N-1 a N visto che le cariche sono in gran numero).
All'infinito, la sua energia potenziale risulterà trasformata totalmente in energia cinetica, quindi
da cui
.
Ovviamente la velocità della particella più esterna è uguale alla velocità con cui la sfera a cui si riferisce il problema si ingrandisce. La velocità richiesta è quindi proprio
.
P.S.: tutto questo ovviamente si sminchia se si richiede di esaminare anche le interazioni magnetiche... spero vivamente che non sia così! ahahah
.