Equilibrio termico di particelle a due stati

[Ippo]

Abbiamo un gas di particelle che possono stare in due livelli energetici distinti, di energia rispettivamente ed (potrebbero essere ad esempio atomi in stati eccitati o cose del genere: non ci interessa il dettaglio), confinato in un certo volume e in contatto termico con un serbatoio a temperatura fissata.
Ci chiediamo quale sia, una volta raggiunto l'equilibrio termico, il rapporto tra il numero di particelle nei due stati: dove (i=1,2) rappresenta il numero di particelle nello stato di energia (si ha quindi ).
Si ricorda la definizione statistica dell'entropia: dove k è la costante di Boltzmann e rappresenta la "molteplicità" dello stato del sistema, cioè il numero di modi in cui può essere realizzato microscopicamente quel dato stato macroscopico.

[Mirko93]

Probabilmente sto sbagliando da qualche parte, visto che l'entropia non non l'ho proprio usata, però non capisco dove:

Il gas all'equilibrio termodinamico sta ad una temperatura . L'energia media degli atomi è quindi .
Questa energia media dovrebbe proprio essere data dalla media pesata dei due diversi livelli energetici. Ossia:

Percui

[Ippo]

sì probabilmente l'espressione "gas" è un po' fuorviante, ti fa venire in mente particelle che hanno energia . I nostri oggetti invece hanno energie discrete: oppure . Il teorema che ti dà quella stima sull'energia media (teorema di equipartizione) in questo caso non vale. Mi scuso per l'ambiguità (in meccanica statistica comunque è frequente chiamare "gas" più o meno qualsiasi cosa )
Il problema si può ammazzare coi metodi della meccanica statistica oppure (ed è la ragione per cui l'ho postato qui) svolgere ragionando un po' e usando solo mezzi elementari, tra cui la definizione di entropia che ho scritto.
(l'approccio statistico all'entropia tra l'altro è nel sillabo delle IPhO; che io sappia non è mai uscito nulla sull'argomento, ma insomma, aver visto qualcosa su questo una volta nella vita non farà male )

[Loren Kocillari89]

Beh il metodo "ufficiale" e immediato per risolvere (in pratica basta solo enunciare ) si trova scritto qui: http://www.unisi.it/fisica/dip/dida/fta ... sMod11.pdf

Resta kmq curioso trovare il metodo da manuale per risolvere il problema...

[Ippo]

Esatto è quello che intendevo (in questo caso non consideriamo "degenerazioni" cioè stati multipli; mettiamo tutte le g uguali a 1).
(e c'è anche il discorso sull'equipartizione che vale solo per sistemi classici).
Ad ogni modo: cosa significa "equilibrio" in relazione alla funzione entropia?..

[Loren Kocillari89]

Ti riferisci al testo http://www.unisi.it/fisica/dip/dida/fta ... sMod11.pdf? Secondo me tale affermazione significa che siamo in un caso in cui il sistema "nella sua globalità" è in equilibrio termico, il che significa che mediamente i due tipi di particelle con energia ed oscillano tra le due energie, tuttavia il loro numero medio rimane spesso quello, alla data temperatura ...spesso e non sempre perchè stiamo parlando di stato e quello dell'equilibrio è il micro(o macro?) stato più probabile...

Non è che potresti dare qualche hint per la soluzione?? Ci ho provato con un procedimento ma non riesco a trovare il rapporto voluto con tutti quei fattoriali che mi ritrovo...

[Gauss91]

Nella mia suprema ignoranza, secondo me l'equilibrio si ha quando l'entropia assume il massimo valore possibile. Per il secondo principio della termodinamica... Poi magari sto blaterando pinzillacchere.

[Ippo]

Nella mia suprema ignoranza, secondo me l'equilibrio si ha quando l'entropia assume il massimo valore possibile. Per il secondo principio della termodinamica...

Ok. E quindi: quando una particella salta da uno stato all'altro, che cosa ci aspettiamo che faccia l'entropia globale?

[Loren Kocillari89]

Posto il mio procedimento...
Analisi teorica: Questo è un caso che si può paragonare al tipico esempio che si fa per calcolare la probabilità dell'entropia, cioè quello di una scatola divisa in due parti uguali. Come una particella dentro la scatola può andare a destra o a sinistra, allo stesso modo in questo problema una particella può avere due diversi tipi di energia..Ora ci chiediamo, quale è la probabilità di trovare la particella in una delle due energie?? Che equivale a, quante particelle troveremmo mediamente ad un livello di energia e quante nell'altro se avessimo a disposizione tantissime particelle ed esse raggiungessero l'equilibrio??
Nel tipico esempio della scatola la risposta sarebbe, metà del tutto da una parte e metà dall'altra! Questo è lo stato più probabile che di conseguenza secondo la , porta all'entropia maggiore. Il problema che ci si pone qui invece è più arduo, perchè le energie non sono "equispaziate" come nella scatola, cioè potrebbe essere che invece di 1/2 e 1/2 potremmo trovare 1/3 e 2/3 ecc.. e tutto dipende dalla temperatura in questione. Faccio un esempio. Se la temperatura di equilibrio fosse associata all energia allora vi sarebbe equilibrio e quindi l'entropia sarebbe massima solo nel caso in cui tutte le particelle andassero a quella temperatura e quindi a quella energia.

Procedimento:
Allora all'inizio particelle avranno un'energia pari a particelle avranno un'energia pari a , quindi l'energia totale dell'universo sarà
Quando però colleghiamo all'universo un serbatoio di energia, che considereremo come ambiente, tra le particelle e il serbatoio si susseguono scambi di energia fino a quando il sistema delle n particelle non avrà raggiunto l'equilibrio termico. L'energia del sistema quindi non si conserva bensì varia..aumentando o diminuendo. Tutto dipende dalla temperatura di equilibrio. Kmq quello che interessa per la soluzione del problema è sapere che l'energia varia di che in questo caso è sempre di . Quindi in totale ci saranno variazioni positivi(assorbimento) o variazioni negativi(cessioni) di energia dal sistema all'ambiente.

Ora sfruttando la definizione statistica di entropia avremo che:

dove lo possiamo prendere anche considerando un caso estremo in cui tutte le particelle "stanno da una parte" cioè hanno la stessa energia ad esempio .. quindi

Allora i conti si semplificano ed

Non resta che calcolare



e da qui iniziano una marea di calcoli da cui per ora non riesco a venirne fuori....

Nella mia suprema ignoranza, secondo me l'equilibrio si ha quando l'entropia assume il massimo valore possibile. Per il secondo principio della termodinamica...

Ok. E quindi: quando una particella salta da uno stato all'altro, che cosa ci aspettiamo che faccia l'entropia globale?

Se ne deduce che aumenta.

[Gauss91]

Non resta che calcolare

Il problema è che la tua espressione per S_2 ha sempre e comunque un massimo per n_1 = n_2 = n/2... cosa che lascia molto perplessi. Significherebbe infatti che il rapporto cercato vale 1 in ogni caso. Ma ciò penso proprio che sia falso.